Wie „verändern“ sich Einheiten, wenn wir zur Sprache der Differentialformen übergehen?

Betrachten Sie einen euklidischen 2D-Vektor, wie er uns im ersten Jahr beigebracht wird: P = X ich ^ + j J ^ wobei x und y in Metern angegeben sind. Wenn man nach den Einheiten eines Einheitsvektors sucht, wird ihm gesagt, dass sie einheitenlos sind, da sie Vektoren sind, die durch ihre Größen geteilt werden. Somit haben der Vektor und die Vektorkomponenten die gleichen Einheiten.

In der Sprache der Differentialformen wäre unser (Co)Vektor: P = X D X + j D j unser Vektor hat jetzt jedoch Einheiten mit quadratischer Länge. Ähnlich wäre sein dualer Vektor in der Koordinatenbasis P = X ∂ X + j ∂ j das ist Einheit weniger.

Meine Frage ist, sollte es der Vektor oder seine Komponenten sein, die die richtigen Einheiten haben? Wenn wir sagen, dass eine Kraft ein Newton ist, ist das eine Forderung an den Vektor oder an die Vektorkomponenten?

Antworten (1)

Bei der Zuordnung von Längeneinheiten sind Sie völlig frei D X und Einheiten der inversen Länge zu ∂ X .

Dies ändert nichts an der Schlussfolgerung der Dimensionsanalyse, wie wir an mehreren Beispielen sehen können. Erstens ergibt diese Zuordnung zusätzliche Einheiten von ( Länge ) N − M zu rangieren ( M , N ) Tensoren, dh diejenigen mit N kovariante Indizes und M kontravariante Indizes. Da wir aber in kovarianten Gleichungen immer gleichrangige Tensoren gleichsetzen, heben sich diese Einheiten einfach auf. Uns bleiben nur die Einheiten der Tensorkomponenten, die per Definition dieselben sind wie zuvor.

Tensoroperationen bringen das nicht durcheinander. Zum Beispiel können wir einen kovarianten und kontravarianten Index immer kontrahieren und einen Rang drehen ( M , N ) Tensor zum Rang ( M − 1 , N − 1 ) , aber die Einheiten werden dadurch nicht geändert. Wir können auch differentielle Formen integrieren, aber das funktioniert auch perfekt. Zum Beispiel in der üblichen Notation,

W = ∫ F ⋅ D X
was uns das sagt W hat die Dimension Kraft mal Länge. Aber in Differentialform Notation,
W = ∫ γ F , F = F ich   D X ich .
Die Komponenten der Kraftdifferentialform F Dimensionen der Kraft haben, während D X ich hat Längeneinheiten, also W hat wieder Einheiten von Kraft mal Länge.

Dies hat meine Frage in mehr als einer Hinsicht beantwortet. Danke schön!
Wie „verändern“ sich Einheiten, wenn wir zur Sprache der Differentialformen übergehen?
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