Bildet die Raumzeitposition nicht einen Vierervektor?

Wenn man anfängt, etwas über Physik zu lernen, werden Vektoren als mathematische Größen im Raum dargestellt, die eine Richtung und eine Größe haben. Diese geometrische Sichtweise hat die Vorstellung kodiert, dass sich bei einem Basiswechsel die Komponenten des Vektors gegenläufig ändern müssen, so dass Betrag und Richtung konstant bleiben. Dies schränkt ein, welche physikalischen Ideen die Komponenten eines Vektors sein können (was in Feynmans Vorlesungen viel besser erklärt wird), so dass drei willkürliche Funktionen keinen ehrlichen Vektor bilden EIN → = EIN x x ^ + EIN j j ^ + EIN z z ^ in gewisser Weise. In der Relativitätstheorie wird ein Vektor also "geometrisch" als Richtungsableitungsoperatoren für Funktionen auf der Mannigfaltigkeit definiert M und dies impliziert, wenn EIN μ sind die Komponenten eines Vektors im Koordinatensystem x μ , dann die Komponenten des Vektors im Koordinatensystem x μ ' sind

EIN μ ' = ∂ x μ ' ∂ x μ EIN μ
(Das kommt alles daher, dass die Operatoren ∂ ∂ x μ = ∂ μ bilden eine Grundlage für die Richtungsableitungsoperatoren, siehe Sean Carrols Spacetime and Geometry)
Mein Problem ist die Tatsache, dass zu viele Leute die Koordinaten verwenden x μ als Beispiel eines Vektors, wenn bei einer beliebigen Transformation
x μ ' ≠ ∂ x μ ' ∂ x μ x μ
Ich verstehe, dass diese Gleichung wahr ist, wenn die Transformation zwischen den beiden Koordinaten linear ist (wie im Fall einer Lorentz-Transformation zwischen kartesischen Koordinatensystemen), aber ich denke, dass sie im Allgemeinen nicht wahr sein kann. Habe ich Recht, dass die Position keinen Vierervektor bildet? Wenn nein, können Sie mir sagen, warum meine Argumentation fehlerhaft ist?

Wo hast du gesehen x μ als Vektor behandelt?
Siehe zum Beispiel Goldsteins Classical Mechanics
@PraharMitra, aber beim Wechsel von kartesischen zu Polarkoordinaten (auch in SR) haben wir eine Transformationsmatrix ∂ x μ ' / ∂ x μ somit transformieren sich die Koordinaten als x μ ' = ∂ x μ ' / ∂ x μ x μ . Liege ich falsch
@Shashaank du irrst dich. Die Koordinaten transformieren sich nicht so.
@PraharMitra haben wir keine Matrix (jakobische Matrix) ∂ x μ ' / ∂ x μ beim Ändern der Koordinaten von kartesisch auf polar?
Wir haben eine Jacobi-Matrix. Es sagt uns, wie sich andere Dinge transformieren (wie Vektoren und Tensoren), aber NICHT Koordinaten.
@PraharMitra ja, ich verstehe jetzt. Wir verwenden die Jacobi-Matrix ∂ x μ ' / ∂ x μ Tensoren und Vektoren zu transformieren. Die Koordinatentransformation ( x = r c Ö s ( θ ) usw.) folgt nicht aus dieser Matrix. Aber das lässt mich fragen, ob wir nichtlineare Transformationen über eine Matrixgleichung darstellen können. Ich weiß, dass lineare Transformationen offensichtlich durchgeführt werden können. Aber soweit ich mich erinnere, habe ich irgendwo hier auf dieser Seite gelesen, dass nichtlineare Transformationen nicht einmal durch eine Matrixgleichung dargestellt werden können. Ich kann das nicht sofort sehen. Können Sie sagen, warum oder eine Quelle vorschlagen, wenn die Antworten lange Erklärungen erfordern?
@Shashaank du verwechselst hier vielleicht einige Dinge. Die Koordinaten transformieren sich nichtlinear. Vektoren und Tensoren transformieren linear, daher kann ihre Transformation mit Hilfe von Matrizen beschrieben werden.
@PraharMitra 1) Wie ist die Transformation von Vektoren linear? Ich meine, wie siehst du das mathematisch? 2) Was ich in einem allgemeinen Kontext gefragt habe, war, warum ich eine nichtlineare Transformation nicht in Form einer Matrixgleichung darstellen kann?
@Shashaank - Wir können die Diskussion im Chat fortsetzen

Antworten (4)

Du hast Recht.

Position ist ein Vektor, wenn Sie in einem Vektorraum arbeiten, da es ein Vektorraum ist. Selbst wenn Sie ein nichtlineares Koordinatensystem verwenden, verhalten sich die in diesem Koordinatensystem ausgedrückten Koordinaten eines Punktes nicht wie ein Vektor, da ein nichtlineares Koordinatensystem im Grunde eine nichtlineare Abbildung vom Vektorraum nach ist R n , und nichtlineare Karten bewahren die lineare Struktur nicht.

Auf einer Mannigfaltigkeit macht es keinen Sinn zu versuchen, Punkte zu "vektorisieren". Ein Punkt ist ein Punkt, ein Element der Mannigfaltigkeit, ein Vektor ist ein Vektor, ein Element eines Tangentialraums an einem Punkt. Natürlich können Sie Punkte in mappen n -Tupel, das gehört zur Definition einer topologischen Mannigfaltigkeit, aber es gibt keinen Grund, warum die Umkehrung dieser Abbildung die lineare Struktur auf die Mannigfaltigkeit übertragen sollte.

Und nun eine rein persönliche Meinung: Während Carrolls Buch wirklich gut ist, ist der Versuch des Physikers, alles nach "Umwandlungseigenschaften" zu kategorisieren, äußerst kontraproduktiv und führt zu solchen Missverständnissen, wie Sie sie hier überwunden haben. Wenn man die richtige Mannigfaltigkeitstheorie lernt, ist dies von Anfang an klar ...

Prägnant und präzise, ​​+1! :)
@GennaroTedesco: Es heißt "kurz" :P
Stimmen Sie Ihrer großartigen Antwort zu, aber ich möchte anmerken, dass Physiker im Allgemeinen die Position nicht mit einem Vektor verwechseln. Wir haben ein paar Jahrhunderte damit verbracht, untereinander über die galiläische Relativitätstheorie zu streiten, und selbst ein fähiger Physiklehrer an der High School kann den Unterschied zwischen einer Karte von Punkten (Etiketten) und physikalischen Vektoren erklären, die im Tangentialraum leben, ohne jemals zur formalen Definition von gehen zu müssen Verteiler. Leider ist nicht jeder Lehrer dazu in der Lage und nicht jeder Schüler greift die Feinheiten auf. OTOH, die Studenten, die das nicht tun, werden auch nicht von einer Vorlesung über Riemann-Mannigfaltigkeiten profitieren.
@CuriousOne Dein letzter Satz ist interessant. Es ist sicherlich richtig, dass ein Schüler, der Schwierigkeiten hat, den Unterschied zu verstehen, vielleicht noch nicht bereit für die Riemannsche Geometrie ist. Andererseits ist ein schlechter Lehrer wie ein schlechter Zeichenpartner in Pictionary: Er neigt dazu, selbst die klügsten Schüler auf den falschen Weg zu schicken.
@Mehrdad Stimmt, aber der Klang von Gennaros Satz ist auch ziemlich cool!
@WetSavannaAnimalakaRodVance: Amen dazu.
Wenn die x μ keine Vektoren sind, warum sagt Caroll, dass sich die Koordinaten wie kontravariante Vektoren transformieren. Und warum erhöhen und senken wir die Indizes auf ihnen wie sie Vektoren
@Shashaank Ich habe das Buch gerade nicht vor mir, aber vermutlich sagt Carroll das während des Kapitels zur speziellen Relativitätstheorie, in dem es wahr ist (das ist für die Minkowski-Raumzeit). Für allgemeine Mannigfaltigkeiten gilt das nicht.
@BenceRacskó auch in GR x μ ( wo x μ eine Koordinate ist) nicht über die Regel transformieren x μ ' = ∂ x μ ' ∂ x v x v ( Was ist die Regel für die Transformation von kontravarianten Vektoren? Und auch, wenn wir erhöhen und indizieren g a b x b = x a , das funktioniert nur, wenn x bezeichnet keine Koordinate, sondern ist ein tatsächliches Vektorfeld? Ist das, was ich oben gesagt habe, richtig, insbesondere der erste Punkt? Lass mich wissen was du denkst.
@Shashaank du hast Recht. In GR transformieren sich Koordinaten NICHT so. Sie können auch keine Indizes auf den Koordinaten erhöhen und verringern.
@PraharMitra ja, ich war verwirrt, weil wir die Indizes senken d x μ und $\dot{x}^\{mu}, aber dort ist einer ein Basis-Kovektor (eine Form) und der andere ist ein geschwindigkeitskontravarianter Vektor. Ist das richtig?

Großartige Argumentation: wie in Uldreths fantastischer Antwort , aber ich würde noch eine Sache hinzufügen, die dazu beitragen kann, Ihr gutes Verständnis zu festigen.

Koordinaten sind absolut keine Vektoren, sie sind Beschriftungen auf Karten und nicht mehr Vektoren, als Ihre Straßenadresse ein Vektor ist. Mit ziemlicher Sicherheit ist der Grund, warum Leute die Implikation machen, dass Sie richtig als falsch identifiziert haben, folgender: Im flachen Raum ( dh euklidischen, Minkowski- oder allgemein signierten Räumen) können affine Koordinaten für Positionen zwei Rollen haben: Sie sind sowohl Labels als auch (einmal man einen Ursprung gewählt hat) Überlagerungsgewichte, die lineare Basistangenten kombinierenan die euklidische (Minkowski ...) Mannigfaltigkeit linear, um eine allgemeine Tangente an die Mannigfaltigkeit zu erhalten. Wenn Sie darüber nachdenken, ist das, was ich gerade gesagt habe, eine etwas andere Interpretation von Uldreths zweitem Absatz, der mit "Position is a vector ..." beginnt.

Es ist erwähnenswert, dass ich mich als Teenager auf jeden Fall an die folgende Lernsequenz erinnere. Als ich mit etwa 11 Jahren in die High School kam, wurden mir zum ersten Mal Koordinaten (natürlich kartesisch) als Beschriftungen gezeigt . Ich vermute, dass sie so allen Kindern vorgestellt werden. Ich erinnere mich deutlich an die Idee, dass nur zwei Jahre später die Vorstellung (die nur für kartesische und allgemein affine Koordinaten funktioniert) von Punktkoordinaten als Positionsvektor eingeführt wurde. Davor hatte ich eine sehr klare Vorstellung von einem Vektor als Verschiebung oder Verbindung zwischen zweienPunkte, eine Idee, die durch den entsprechenden Grenzwert zur Tangentialidee in einer allgemeinen Mannigfaltigkeit führt. Beim Lesen Ihrer Frage lache ich, wenn ich mich an die Aussage des Lehrers erinnere, dass die zweite Rolle von Koordinaten als Positionsvektoren eine "neue und fortgeschrittene" Art war, Vektoren zu betrachten, während es im Gegenteil eine Denkweise ist, die Sie richtig haben als sehr begrenzt und nur im affinen Fall praktikabel verstehen.

Hier ist eine einfache Möglichkeit, um zu sehen, dass Koordinatentupel keine 4-Vektoren sind.

Beginnen Sie in einem Trägheitskoordinatensystem in der flachen Raumzeit. Ändern Sie das Koordinatensystem mit einer konstanten Verschiebung:
x ' = x + EIN
j ' = j
z ' = z
t ' = t

Auch in diesem idealistischen Fall transformieren sich 4-Vektoren und Koordinatentupel unterschiedlich. Die Komponenten der 4er-Vektoren ändern sich in diesem Fall überhaupt nicht, die Koordinatentupel hingegen schon.

Und das lässt uns noch einen weiteren Punkt sehen: Eine lineare Transformation, die den Ursprungspunkt verändert, zerstört die Idee des „Positionsvektors“, aber man könnte sich immer noch das Konzept des „Verschiebungsvektors“ sparen. Wenn die Transformation nichtlinear ist, geht diese ebenfalls verloren.

Richtig – Vektoren in der Allgemeinen Relativitätstheorie leben in einem tangentialen Raum. Dies ist der Punkt der Differentialgeometrie und der Analysis im Allgemeinen - Sie approximieren nichtlineare Dinge, die keine Vektorräume sind (wie kurvige Mannigfaltigkeiten), mit linearen Dingen (wie ihre Tangentenräume), die Vektorräume sind. Dies ist genau die Motivation, die Basisvektoren als zu definieren ∂ μ , wie du es beschreibst.

Bildet die Raumzeitposition nicht einen Vierervektor?
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