Ist ein Einheitsvektor wirklich einheitslos und dimensionslos?

Laut meinen Lehrbüchern hat ein Einheitsvektor keine Einheiten und keine Dimensionen, sondern dient nur der Richtungsangabe. Es zeigt nur die Orientierung eines entsprechenden Vektors im Raum. Ich denke, es stimmt, oder es sieht so aus. Dies ist sinnvoll, da ein Einheitsvektor als "ein Vektor" geteilt durch seine Größe definiert ist. Da wir in Zähler und Nenner den gleichen Zahlenwert haben, hat ein Einheitsvektor den Betrag 1 Einheit. Ebenso haben wir dieselbe Einheit sowohl im Zähler als auch im Nenner, was einen Einheitsvektor „einheitslos“ und daher dimensionslos macht. Deshalb denke ich, dass ein Einheitsvektor keine Dimensionen hat. Bitte korrigiere mich wenn ich falsch liege.

Aber eine andere Frage kommt uns natürlich in den Sinn. Warum sage ich "eine Kraft von 1 N genau nach Osten" oder "eine Verschiebung von 1 m, 30° NOE"?

Sowohl Kraft als auch Verschiebung sind Vektorgrößen, und beide haben in den beiden obigen Beispielen eine Größe von 1 Einheit. Meine Frage ist, können wir diese beiden "Einheitsvektoren" nennen? Das ist es, was ich zu verstehen kämpfe. Es gibt keinen Grund, warum wir diese beiden Einheitsvektoren nicht nennen können. Weil beide eine Größe von 1 Einheit haben und beide Vektoren sind. Beide haben jedoch Einheiten und sind daher nicht dimensionslos.

Antworten (4)

Etwas zu erkennen ist, dass Ihr Vektor der Größe 1   N hat nur eine "Einheitslänge", weil Sie sich entschieden haben, Ihre Kraft in Newton zu messen oder darzustellen. Wenn Sie eine andere Einheit wie Pfund gewählt hätten, hätten Sie es nicht getan 1 Pfund Kraft.

Andererseits sind Ihre tatsächlichen Einheitsvektoren tatsächlich einheitslos ∗ . Dies liegt daran, dass Einheitsvektoren als das Verhältnis zwischen zwei Dingen mit denselben Einheiten definiert sind. Sie werden immer eine (einheitenlose) Größe von haben 1 . Tatsächlich gilt dies für jede einheitslose Größe, da sie nicht von Ihrer Wahl der Einheiten abhängt (was eine absichtlich redundante Aussage ist).

∗ Ich fand das immer amüsant. Einheitsvektoren sind einheitslos.

Im Grunde genommen hängen die Größen in der Frage mit einer Größe von eins vollständig davon ab, welche Einheiten Sie verwenden, während der Einheitsvektor unabhängig von den verwendeten Einheiten eine Größe von eins hat?
Die Anwendung der Einheit ist recht amüsant. Hier sind zwei Verwendungen am Werk: 1) die physikalische Einheit, zB Meter; und 2) die Einheitsrichtung im Sinne von genau nach Norden. Ein Einheitsvektor ist, vereinfacht gesagt, das 3D-Analogon einer Kompassrose auf einer Straßenkarte. Gehe 300 Meter nach Norden, dann nach Westen , hat nur eine Bedeutung, wenn die Himmelsrichtungen definiert sind. Im 3D-Raum x = (0 1 3)hat ein Vektor nur dann eine Bedeutung, wenn die Einheitsrichtungen definiert sind.
@JTPenguin Das ist genau richtig.
In gewisser Weise sind Einheitsvektoren einheitenlos, weil sie selbst "die Einheit" sind (Sie können andere Vektoren mit ihnen messen) - und natürlich kann eine Einheit selbst keine Einheiten haben.

Warum, wenn ich sage, "eine Kraft von 1 N genau nach Osten"? Oder "eine Verschiebung von 1 m, 30 ° NOE"? Sowohl Kraft als auch Verschiebung sind Vektorgrößen, und beide haben in den beiden obigen Beispielen eine Größe von 1 Einheit. Meine Frage ist, können wir diese beiden "Einheitsvektoren" nennen?

Nein, das sind keine Einheitsvektoren. Lassen F = ( 1   N ) X ^ . (Einige Leute notieren X ^ als ich ^ .) Dann der Einheitsvektor in Richtung von F Ist

F | F | = X ^ ,

was nicht dasselbe ist wie F . Es hat verschiedene Einheiten, und das stimmt nicht | F | = | X ^ | = 1 , da Dinge mit inkompatiblen Einheiten niemals gleich sein können.

Vielen Dank für die schnelle und präzise Erklärung. Ich habe eine Frage, Sie sagten, der Einheitsvektor ("x cap", weiß noch nicht, wie man Mathjax verwendet, sorry) hat andere Einheiten als die Einheiten von F. Aber sollen Einheitsvektoren nicht einheitenlos sein? Was sind übrigens die Einheiten dieses "Einheitsvektors"?
@πtimese Es hat unterschiedliche Einheiten, weil F Einheiten und hat X ^ nicht.
Die Einheiten des Einheitsvektors sind, dass er keine Einheiten hat. Wenn Sie möchten, können Sie diese Art der Dimensionsanalyse mit der Gruppentheorie formalisieren, in diesem Fall sind die Einheiten isomorph zu einem Vektorraum, z. B. kg.m/s2 ist (1,1,-2) basierend auf dem Exponenten. Dann ist "unitless" das Identitätselement der Gruppe oder (0,0,0).
@πtimese Die MathJax-Syntax für dieses Symbol ist \hat{x} , oder \bf{\hat{x}} , wenn Sie möchten, dass es fett gedruckt wird.
@ Ben Danke! Das Fazit lautet also: Einheitsvektoren sind tatsächlich einheitslos
@JMurray Danke! Ich werde dafür sorgen, dass ich sie das nächste Mal verwende, wenn ich muss.

Wenn v → ein Vektor mit einer physikalischen Einheit ist, dann ist sein Einheitsvektor definiert als:

v ^ = v → | | v → | |
Wo:
| | v → | | = ∑ ich v ich 2
wo alle Komponenten v ich hat die physikalische Einheit. Dies bedeutet eindeutig, dass der Einheitsvektor dimensionslos ist.

Entsprechend, v → = λ v ^ , Wo λ ist die Größe und ist das Dimensionselement

Nun, wenn Sie einen dimensionslosen Einheitsvektor haben ich , die eindeutig einen Einheitsvektor für die Kraft definiert ich F = ich ⋅ 1 N , das gleiche gilt für die Verschiebung ich D = ich ⋅ 1 M und für alle anderen Einheiten, die Ihnen wichtig sind. Angesichts der Tatsache, dass all dies in einer wohldefinierten Weise miteinander in Beziehung steht, hindert Sie nichts daran, Ihre Mengen in Form einer Kraftbasis auszudrücken, wenn Sie dies wünschen. Die Allgemeine Relativitätstheorie, QFT und bestimmte andere Zweige der Physik beinhalten Basisänderungen, die viel komplizierter sind als die Frage, ob | ich | gleich 1 oder 1 N.

Wie können wir Einheitsvektoren haben, die zwei verschiedene Größen beschreiben können (z. B. für oder Position)?
@AntoniosSarikas Verschiedene Vektoren leben in verschiedenen Räumen. Es gibt einen Raum, der Dinge wie „zwei Schritte nach Norden“, „einen Kilometer nach Osten“, „einen Meter nach oben“ und alle Kombinationen davon enthält. Gleichzeitig kann ein Gewicht mit einer Kraft von 42 N an einem Seil in Richtung Erdmittelpunkt ziehen, aber dieser Vektor lebt in einem anderen Raum als die Verschiebungsvektoren.
Ist ein Einheitsvektor wirklich einheitslos und dimensionslos?
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