Warum ist die Wirkung in natürlichen Einheiten dimensionslos?

Sie ist dimensionslos im Sinne der Massendimension .

Einstellung$\hbar = c = 1$bedeutet, dass wir nur eine Basiseinheit reparieren müssen, die normalerweise als die gemessene Energie angenommen wird$\mathrm{eV}$. Nun, da$c=1$, das bedeutet, dass wegen$E=mc^2$Werden$E=m$beide$E$und$m$eingemessen werden$\mathrm{eV}$. Sie können unterschiedliche Dimensionen darstellen (Masse und Energie), aber sie werden in derselben Einheit gemessen . Jetzt,$E=h\nu$bedeutet, dass inverse Zeit gemessen wird$\mathrm{eV}$, also wird die Zeit gemessen$\mathrm{eV^{-1}}$. Usw.

Nun, die "Massendimension" einer Menge ist einfach die Potenz von$\mathrm{eV}$sie wird in gemessen. Da die Wirkung das Integral einer Energie gegen die Zeit ist, hat sie Einheiten von$\mathrm{eV}\cdot\mathrm{eV}^{-1} = \mathrm{eV}^0$, dh es hat die Massendimension Null.

Sie haben Recht damit, dass es nicht "dimensionslos" ist. Aber Massendimension Null zu haben bedeutet für jede Menge$Q$dass es Kräfte gibt$\hbar$und$c$so dass$\frac{Q}{\hbar^n c^m}$ ist dimensionslos, und da$\hbar = c = 1$,$\frac{Q}{\hbar^n c^m} = Q$, also gibt es keinen numerischen Unterschied zwischen diesen Größen, und das sagt man schlampig$Q$ist dimensionslos.

Wenn Sie sich etwas Sorgen machen$\frac{Q}{\hbar^n c^m} = Q$vom Standpunkt der Dimensionsanalyse "falsch aussieht", dann ja, das ist richtig - die Bequemlichkeit in den Formeln, von denen wir kommen$\hbar = c = 1$geht zwangsläufig ein großer Teil der Dimensionsanalyse verloren, dafür bleibt nur die Massendimension übrig.

Um deine zweite Frage zu beantworten:

Gibt es einen besonderen Grund dafür, dass die Aktion dimensionslos sein soll? Wollen wir einfach, dass sein numerischer Wert von jedem Einheitensystem unabhängig ist?

dafür gibt es mehrere gründe. Eine davon ist, dass wir uns nicht darum kümmern wollen, den Überblick zu behalten$\hbar$und$c$'s überall, da sie sich ziemlich schnell summieren können. Ein weiterer, grundlegenderer Grund ist, dass viele physikalische Phänomene skalenabhängig sind. Im natürlichen Einheitensystem wird die Länge in denselben Einheiten gemessen wie die inverse Energie, daher ist die Betrachtung eines Phänomens in verschiedenen Maßstäben dasselbe wie die Betrachtung bei verschiedenen Energien. Daher ermöglicht die Messung von allem in Bezug auf Energie (oder Masse), klar zu sehen, wie sich eine Theorie auf verschiedenen Energieskalen verhält: Diese Idee ist eines der Grundprinzipien der Methode der Renormierungsgruppe. In der Quantenelektrodynamik zum Beispiel variiert die Masse des Elektrons je nach Energieskala, auf der Sie arbeiten: Dies kommt von der Tatsache, dass die an der QED beteiligten Phänomene mit der Energieskala des Problems variieren.

Beachten Sie auch, dass Sie die Konstanten nicht beliebig auswählen können, sie müssen konsistent sein. Zum Beispiel können Sie nicht setzen$c=1$,$\hbar=1$sowie die QED-Kopplungskonstante$e=1$, weil dies die Feinstruktur konstant machen würde$\alpha = \frac{e^2}{\hbar c} = 1$, wodurch die elektromagnetische Wechselwirkung viel stärker wird, als sie wirklich ist ($\alpha = \frac{1}{137}$auf atomarer Ebene).

Die als natürliche Einheiten bezeichnete Konvention kann in zwei Teile unterteilt werden:

1. Verwenden eines anderen Satzes von Basiseinheiten. Zum Beispiel anstatt die SI-Einheiten zu verwenden$\text{kg}, \text{m}$und$\text{s}$als Basiseinheiten für einen bestimmten Unterraum wird der Einheitsraum, die gebräuchlichste Variante natürlicher Einheiten, verwendet$\hbar, c$und$\text{eV}$als Basiseinheiten für denselben Unterraum. Zum Beispiel$1\,\text{fm}$geschrieben in diesen Basiseinheiten gleich$\frac{\hbar c}{197\,\text{MeV}}$.

2. Einige oder alle dieser Basiseinheiten nicht aufschreiben . Zum Beispiel in der gebräuchlichsten Variante natürlicher Einheiten,$\hbar$und$c$werden nicht aufgeschrieben. Dies wird normalerweise als bezeichnet$\hbar=1; c=1$. Du könntest auch nicht aufschreiben$\text{eV}$.

Konvention 1 ist praktisch, da Sie häufig Konstanten als Basiseinheiten verwendet haben. Konvention 2 erspart Ihnen das Aufschreiben einiger dieser Basiseinheiten und baut darauf auf, dass Sie die Einheit jederzeit aus der Dimension der betrachteten Größe rekonstruieren können. Beachten Sie, dass auch bei Verwendung von natürlichen Einheiten geschrieben wird$\hbar = c$ist technisch falsch, da die ungeschriebenen Einheiten nicht übereinstimmen.

Unter diesem Gesichtspunkt ist Handlung in natürlichen Einheiten nicht dimensionslos – Sie schreiben nur nicht die Einheiten auf, die die Dimension angeben.

Weiterführende Lektüre und krasse Eigenwerbung: Ich habe eine didaktische Arbeit ( Preprint ) zum Thema natürliche Einheiten verfasst.