Wann können zwei Mengen addiert werden?

Immer wenn zwei Dinge addiert werden sollen, muss man in der Regel prüfen, ob dies überhaupt sinnvoll ist, und eine Addition ist grundsätzlich sinnvoll, wenn die Einheiten zusammenpassen.
Doch übereinstimmende Einheiten reichen eindeutig nicht aus:

• Beide Aktionen (wie$\hbar$) und Drehimpuls$L$die SI-Einheiten teilen$Js$.
  • Das Hinzufügen solcher Mengen kann jedoch schnell abgetan werden, indem dies angegeben wird$\vec{L}$ist eine gerichtete Größe und Vektoren und Skalare können (normalerweise) auch nicht addiert werden.
• Einstellung$c=1$, wie es in der relativistischen Mechanik üblich ist, werden verschiedene Einheiten ein und dasselbe:
  • $\left[\text{length}\right]=\left[\text{time}\right]$,$\left[\text{mass}\right]=\left[\text{energy}\right]=\left[\text{momentum}\right]$,$\left[\text{acceleration}\right]=\left[\text{frequency}\right]$usw.
  • die machen meistens Sinn mit$4$-Vektoren, die erkennen, dass beispielsweise die Zeit orthogonal zum Raum ist, obwohl ich es nicht gesehen habe$\left[\text{acceleration}\right]=\left[\text{frequency}\right]$früher verwendet.
• Wenn man einen Schritt weiter geht und Planck-Einheiten einführt, die von Naturkonstanten abgeleitet sind, werden alle Einheiten zu Potenzen von$\left[\text{length}\right]$: (handgemacht, Fehler möglich)
  • $\left[\text{1}\right]=\left[\text{#particles}\right]=\left[\text{%}\right]=\left[\text{odds}\right]=\left[\text{velocity}\right]=\left[\text{entropy}\right]=\left[\text{action}\right]=\left[\text{angular momentum}\right]=\left[\text{charge}\right]=\left[\text{resistance}\right]$
  • $\left[\text{length}\right]=\left[\text{time}\right]=\left[\text{inductance}\right]$
  • $\left[\text{length}^{-1}\right]=\left[\text{energy}\right]=\left[\text{mass}\right]=\left[\text{momentum}\right]=\left[\text{frequency}\right]=\left[\text{acceleration}\right]=\left[\text{torque}\right]=\left[\text{capacitance}\right]=\left[\text{current}\right]=\left[\text{voltage}\right]=\left[\text{temperature}\right]=\left[\text{chemical potential}\right]$
  • $\left[\text{length}^{-2}\right]=\left[\text{force}\right]=\left[\text{magnetic flux density}\right]$
  • $\left[\text{length}^{-4}\right]=\left[\text{pressure}\right]$
  • wahrscheinlich viele viele mehr (die tatsächlich irgendwo verwendet werden - im Prinzip gäbe es natürlich unendlich viele solcher Relationen)

Bei vielen davon kann ich also klar erkennen, warum sie unmöglich auf konsistente Weise addiert werden können:
Einige dieser Größen sind im Grunde genommen Skalare, andere sind axiale Vektoren und wieder andere sind polare Vektoren. - In der normalen Vektorrechnung können diese drei nicht einfach addiert werden.
Partikelanzahl und relative Mengen unterscheiden sich auch darin, dass sie in unterschiedlichen Domänen definiert sind; bzw.$\mathbb{N}$Und$\left[0,1\right]$. Alle anderen oben genannten Größen sind entweder an definiert$\mathbb{R}$oder an$\left[0,\infty\right[$, obwohl experimentelle Daten und Theorien, die ihnen entsprechen, einige von ihnen, wie elektrische Ladung, weiter einschränken können.

Die notwendigen Bedingungen für eine richtig definierte Addition, die ich bisher gefunden habe, sind also:

• passende Einheiten
• passende Domänen
• passendes Maß
• passendes Transformationsverhalten oder Kovarianz (? - Ich kenne mich mit GR nicht gut genug aus, um zu wissen, dass dies immer ein Problem ist. Ich bin mir vage bewusst über ko- und kontravariante Tensoren und dergleichen, aber ich kann mich nicht erinnern, ob eine Ko- und ein kontravarianter Tensor aus demselben Raum können normalerweise addiert werden.Was ich jedoch nicht zähle, ist eine Addition, wie sie in der geometrischen Algebra vorkommen kann, wo Sie Multivektoren haben können.In diesem Zusammenhang frage ich speziell danach Hinzufügen gleicher Klingen. In diesem Fall wird die Tatsache, dass axiale und polare Vektoren nicht addiert werden können, zur Tatsache, dass sie Vektoren oder Bivektoren entsprechen.)

Obwohl es mehr als das geben muss, oder? Soweit mir bekannt ist, würden die obigen Regeln beispielsweise das Addieren einer Kapazität und einer Temperatur nicht ausschließen. Oder irre ich mich? (dh verstößt die oben vorgeschlagene Addition entweder gegen eine der oben genannten vier Bedingungen oder ist sie in bestimmten Situationen tatsächlich physikalisch sinnvoll, oder können Sie sie sich irgendwie vernünftigerweise als verschiedene Komponenten eines gemeinsamen Vektors vorstellen?)

Gibt es angesichts all dessen eine klare mathematische oder physikalische Regel (oder einen Satz von Regeln), die vollständig definiert, wann zwei Werte tatsächlich auf physikalisch konsistente Weise addiert werden können? Was sind die notwendigen und hinreichenden Bedingungen?

EDIT 1: Wahl der natürlichen Einheiten

Ich habe einen Fehler gemacht oder hatte ein Versehen bei der Auswahl der obigen Einheiten: Ich setze$c=\hbar=k_B=k_e=1$aber vergessen, auch einzustellen$G=1$. Wenn ich das richtig sehe, dann$G=c=\hbar=1$impliziert etwas ziemlich Seltsames:
$\left(c=1\right)$impliziert$\left[\text{length}\right]=\left[\text{time}\right]$Und$\left[\text{energy}\right]=\left[\text{mass}\right]$
$\left(\hbar=1\right)$impliziert$\left[\text{energy}\right]=\left[\text{time}^{-1}\right]$
$\left(G=1\right)$impliziert$\left[\text{mass}\right]=\left[\text{length}^3\text{time}^{-2}\right]$

Also zusammen:$\left[\text{length}^{-1}\right]=\left[\text{time}^{-1}\right]=\left[\text{energy}\right]=\left[\text{mass}\right]=\left[\text{length}^3\text{time}^{-2}\right]=\left[\text{length}\right]$

Aber$\left[\text{length}^{-1}\right]=\left[\text{length}\right]$kann nur erfüllt werden, wenn$\left[\text{length}\right]=\left[1\right]$. Wenn Sie also ganz natürlich vorgehen, sind tatsächlich alle Einheiten weg.

Damit verwandt ist der folgende Kommentar von Jwimberley zu einer Antwort auf eine andere Frage: Was rechtfertigt die Dimensionsanalyse?

In diesem Fall lautet meine Frage: "Wo im natürlichen Einheitensystem sein$c=\hbar=G=k_e=k_B=1$, wie können Sie feststellen, ob zwei Größen addiert werden können?". Ich habe oben bereits ein paar Anforderungen identifiziert. Jetzt bleibt zu sagen, ob diese ausreichend sind oder ob es einige zusätzliche erforderliche Bedingungen gibt. Ich meine, Sie könnten es sich vorstellen (vielleicht als vage vorgeschlagen durch den oben verlinkten Kommentar) alle Größen, die entschieden nicht gleich sind, in verschiedene Komponenten eines großen Vektors eintragen, der alle Einheiten separat enthält (sowie Kopien von Einheiten, falls diese existieren, wie beispielsweise drei separate räumliche Koordinaten). , solange die Domänen aller enthaltenen Einheiten übereinstimmen (sie sollten alle einzeln auf der Gesamtheit von definiert werden$\mathbb{R}$oder was auch immer passt). Ich sehe keinen Grund, warum dies nicht funktionieren sollte, aber gleichzeitig bin ich mir nicht sicher, ob das tatsächlich eine gute Lösung wäre. Aber wie sonst kann man all diese Arten von Werten im Auge behalten, wenn ihre entsprechenden Einheiten alle gerecht sind$1$? Es gibt ziemlich gute Gründe dafür, warum wir das haben$4$-Vektoren. Könnte ein ähnlicher Fall für größere Vektoren gemacht werden oder würde die zugrunde liegende Struktur, die verschiedene Einheiten verbindet, nicht gut damit funktionieren? Und wie groß müsste dieser Vektor sein? - Zum Beispiel, wie erwähnt,$c=1$impliziert$\left[\text{energy}\right]=\left[\text{mass}\right]$gem$E^2=m^2c^4+p^2c^2$, also würden Sie wahrscheinlich keine separaten Einträge für Energie und Masse benötigen, aber Sie würden drei zusätzliche Einträge für Impuls benötigen, da dies eine gerichtete Größe ist.

Ich werfe hier viele zusätzliche Fragen ein, aber in Wirklichkeit sind sie alle nur Konsequenzen der Frage, wann (nicht) zwei Dinge hinzugefügt werden sollen. Fühlen Sie sich frei, diese Extras zu ignorieren, solange die ursprüngliche Frage beantwortet ist.

EDIT 2: In Bezug auf potenzielle Duplikate (Fortsetzung mit$G\neq 1$)

Meine Frage ist zwar verwandt, unterscheidet sich jedoch erheblich von Was rechtfertigt die Dimensionsanalyse? : Ich frage nicht nach dem direkten Hinzufügen von etwas wie "$5m+10s$" - das ist eindeutig undefiniert. Sie können sie jedoch mit einem 4-Vektor hinzufügen:$10\vec{X} = s \ \vec{e}_0 + \left( 3 m \ \vec{e}_2 + 4 m \ \vec{e}_3 \right) = \left(\begin{matrix} 10s & 0m & 3m & 4m\end{matrix}\right)$oder, unter Verwendung der gleichen Einheiten durchweg,$\vec{X}=\left(\begin{matrix} 2997924580 & 0 & 3 & 4\end{matrix}\right)m$. - nicht, dass diese Einheitenwahl für solche Werte besonders sinnvoll wäre.
Dieser Vektor hat einen räumlichen Teil$\vec{x}=\left( 3 m \ \vec{e}_2 + 4 m \ \vec{e}_3 \right), \left|x\right| =5m$und einen zeitlichen Teil$t=2997924580m=10s$und wenn ich mich nicht irre (und das könnte sehr gut sein), hat der Vektor eine "Länge" angesichts der Tatsache, dass der Vektor eine Minkowski-Metrik hat$\left|\vec{X}\right|=5 \sqrt{359502071494727055}m \approx 10s$. (die 5m sind ziemlich egal)

Und es gibt noch mehr Größen innerhalb der speziellen Relativitätstheorie, die eine solche Form zulassen. Zum Beispiel der Energie-Impuls-4-Vektor oder das elektromagnetische Feld.

Obwohl, wie gesagt,$c=1$impliziert mehr Korrespondenzen. Gibt es zum Beispiel einen Frequenz-Beschleunigungs-4-Vektor? - Natürlich gibt es eine 4-Beschleunigung, aber ist der zeitliche Teil davon eine Art Frequenz, wie die Einheit vermuten lässt?

Natürlich ist die einfachste Antwort, wenn man sich nur die Newtonsche Mechanik ansieht, die (meines Wissens nach) für Probleme sorgt$\mathbb{R}^3$, streng auf 3-Vektoren und Skalare beschränkt ist, wäre das nicht einmal$\left[\text{length}\right]=\left[\text{time}\right]$hält. Allerdings haben wir (d. h. Physiker des vergangenen Jahrhunderts+) inzwischen eine ziemlich klare Entsprechung zwischen Raum und Zeit hergestellt, die sowohl physikalisch als auch mathematisch sinnvoll ist, indem wir sie akzeptieren$c$als natürliche Einheit.

Und andere natürliche Einheiten legen sogar noch mehr solche Entsprechungen nahe. Meine Frage ist: Sind all diese Entsprechungen tatsächlich in irgendeiner Weise physikalisch, vielleicht ähnlich wie 4-Vektoren in SR? (Sind auch nur all die vorgeschlagenen von$c=1$allein vernünftig innerhalb der physischen Intuition? - zumindest ein anständiger Teil davon anscheinend.) Und wenn nicht, was genau läuft schief? (Weil sie übereinstimmende Einheiten haben, soweit es natürliche Einheiten betrifft)
Oder kurz gesagt, was kann unter welchen Umständen addiert werden oder nicht?

Nun, die akzeptierte Antwort auf die oben verlinkte Frage, https://physics.stackexchange.com/a/98257/16568 , könnte einer Teilantwort ziemlich nahe kommen:

Die Physik ist unabhängig von unserer Wahl der Einheiten

aber soweit ich das sehe, schließt das nur aus, dass man Mengen mit unterschiedlichen Einheiten im selben Raum addieren kann. Das wird innerhalb von SR wieder vermieden, indem auf 4-Vektoren umgestellt wird, wenn ich das richtig verstehe.

Schließlich wurde eine grundlegende Frage zur Dimensionsanalyse als ein weiteres potenzielles Duplikat oder zumindest als etwas, das hilfreich sein könnte, gegeben. Allerdings ist mir wie gesagt klar, warum komplexere Funktionen als Produkte oder Summen bei jeder Menge mit Einheiten keinen Sinn machen.
Mir ist bewusst, dass Produkte und ganzzahlige Potenzen die einzigen Funktionen sind, die sich nicht um Einheiten kümmern (sie funktionieren, egal was passiert) und lineare Kombinationen funktionieren, wenn alle Terme dieselbe Einheit haben.