Wie man eine Energie in natürlichen Einheiten ausdrückt

Wenn Sie einstellen$\hbar = c = G = 1$dann kann jede physikalische Größe als äquivalent zu jeder anderen physikalischen Größe erklärt werden, und Sie können einen Ausdruck, der besagt, dass dies so ist, in ein beliebiges anderes Einheitensystem umwandeln, z. B. SI-Einheiten, indem Sie die richtigen Faktoren einbeziehen$\hbar$,$c$, Und$G$. Dies geschieht am einfachsten durch die Konstruktion von Größen mit den Dimensionen Länge, Zeit und Masse$\hbar$,$c$, Und$G$, diese Ausdrücke sind bekannt als Planck-Länge, Planck-Zeit und Planck-Masse, siehe hier für Details .

Dann gegeben eine Gleichung in$\hbar = c = G = 1$Einheiten können Sie dann das korrekte SI-Einheitenäquivalent finden, indem Sie alle Variablen in der Gleichung durch die Planck-Einheit der Variablen dividieren und das Endergebnis mit der Planck-Einheit der gewünschten physikalischen Größe multiplizieren. Weil Sie mit beginnen$\hbar = c = G = 1$, ändern Sie nichts an der Gleichung, aber da sie jetzt auch in SI-Einheiten dimensional korrekt ist, ist es die richtige SI-Gleichung, wenn Sie die SI-Werte für ersetzen$\hbar$,$c$, Und$G$.

Beispiel, wenn Sie eine Masse gleichsetzen$M$auf eine Länge$L$In$\hbar = c = G = 1$Einheiten:

dann sind wir frei, willkürliche Potenzen von einzusetzen$\hbar$,$c$, Und$G$weil sie sowieso gleich 1 sind. Wir können dann die linke Seite durch die Planck-Masse und die rechte Seite durch die Planck-Länge teilen, das ergibt:

Wir können dies schreiben als:

was in SI-Einheiten maßlich korrekt ist.

Sie können dieses Spiel mit jedem beliebigen Ausdruck spielen, z

kann fast ohne Aufwand in einen dimensional korrekten SI-Ausdruck umgewandelt werden (ich überlasse dies als Übung für das OP).

Es steht Ihnen frei, eine beliebige Einheit (in verschiedenen Potenzen) zu verwenden, um Werte in entdimensionalisierten Systemen auszudrücken. Gertain verwendet Sekunden, mehr als ein paar einführende allgemeine Relativitätstheorie-Bücher verwenden Länge, aber auf meinem Gebiet (Teilchenphysik) verwenden wir tendenziell Elektronenvolt (dh Energie) als Grundlage für alle Messungen.

In diesem Fall wird Energie als Energie ausgedrückt. Genauso wie die Masse. Sowohl Länge als auch Zeit werden als inverse Energie ausgedrückt (Sie können dies aus der Gleichung erhalten, die Sie betrachten, und dann feststellen, dass die Geschwindigkeit dimensionslos sein muss).

Zunächst einmal ist das Bogenmaß dimensionslos, also sollten Sie nicht schreiben:$\omega[rad\ s^{-1}]$.

Dimensionsanalyse

Die Einheiten der Energie in natürlichen Einheiten sind die Dimensionen der Energie$s^{-1}$. Das macht seither Sinn$E=\omega$.

Die Einheiten Entfernung sind in natürlichen Einheiten$s$. Dies ist sinnvoll, da Wellenlänge =$c *$Reisezeit. Aber$c$= 1, also haben Entfernung und Zeit die gleiche Einheit.

Etwas Intuition hinter natürlichen Einheiten

Um diese natürlichen Einheiten zu interpretieren, betrachten wir dieses einfache Beispiel:$v = 0.5 c$, in natürlichen Einheiten wäre dies$v=0.5$. Das bedeutet, dass die Geschwindigkeit halb so groß ist wie die Lichtgeschwindigkeit.

Ähnlich,$E=0.7 s$ist zu interpretieren als: die Energie ist 0,7 mal$\hbar*s$

Bearbeiten, um die Frage von OP in den Kommentaren zu klären

Es ist zu beachten, dass wir nicht unendlich viele Einheiten auf 1 setzen können, da dies zu starken Inkonsistenzen in den Einheiten führen würde. Ein Beispiel ist G, das in natürlichen Einheiten NICHT auf 1 gesetzt ist.

Nehmen wir an, G = 1. Das finden wir$r_s = GM/c^2$so dass$[r_s] = m = s = [M] = [E] = s^{-1}$?!

Jedoch, wenn$[G] = m^3 *kg*s^2 = ms$(seit$kg = [E] = 1/s$Und$m=s$) wir glauben, dass$r_S = GM/c^2$so dass$[r_S] = m = s = G [E] = ms*s^{-1} = m$damit es keine Probleme gibt...

Stellen Sie also nicht alle Einheiten auf 1. Zum Beispiel sollte G nicht auf 1 gesetzt werden! (Unterm Strich, wenn Sie Inkonsistenzen finden, haben Sie zu viele Einheiten auf 1 gesetzt)

Antwort auf Ihre erste Frage ist, dass wir in natürlichen Einheiten Energie als einzige Einheit verwenden, um andere Größen zu beschreiben. Energie kann meistens in Form von eV genommen werden, daher können wir jetzt Energieeinheiten eV verwenden, um andere Größen wie Masse, Entfernung usw. zu beschreiben. Als Referenz können Sie Peskin (Eine Einführung in die Quantenfeldtheorie) lesen.

Zu deiner zweiten Frage.