Was genau machen wir, wenn wir c=1c=1c=1 setzen?

Alles, was wir tun, ist, eine Reihe von Einheiten zu verwenden, bei denen bestimmte Größen zufällig praktische Zahlenwerte annehmen. Zum Beispiel könnten wir im SI-System Längen in Metern und Zeitintervalle in Sekunden messen. In diesen Einheiten haben wir$c = 3 \times 10^8\ \text{m}/\text{s}$. Aber Sie könnten genauso gut alle Ihre Entfernungen in Bezug auf eine neue Einheit messen, nennen wir es einen "Finglonger", der gleich ist$2.5 \times 10^6\ \text{m}$, und Zeitintervalle in einer neuen Einheit, wir nennen es den "Zoidberg", das ist gleich$8.33 \times 10^{-3}\ \text{s}$. Dann ist die Lichtgeschwindigkeit in Bezug auf Ihre neuen Einheiten

Wenn Sie sich an „natürliche“ Einheiten gewöhnen, denke ich, ist es am besten, sich das so vorzustellen: Wir definieren im Grunde eine neue Zeitvariable$t' \equiv c t$arbeiten bei.$t '$hat Entfernungseinheiten. Wir können jederzeit auf die alte Zeitvariable und das alte Einheitensystem zurückgreifen$t = \frac{t'}{c}$.

Wir tun dies, um die Dinge so einfach wie möglich zu halten. Zum Beispiel das Linienelement:

$d s^2 = c^2 dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2 = dt'^2- dx^2 - dy^2 - dz^2$

und die relativistische Dispersionsrelation:

$E = \sqrt{p^2 c^2+m^2 c^4} = \sqrt{p'^2 +m'^2}$

sind in diesen Einheiten viel einfacher. Dies mag nicht wie ein großer Fortschritt erscheinen, aber wenn es um komplizierte Gleichungen geht, ist alles, was vereinfacht, von großem Nutzen.

Wir löschen die Einheiten nicht wirklich. Sie sind immer noch da.

Im Einheitensystem, wo der Zahlenwert von$c$1 ist, kann jede Geschwindigkeit durch ausgedrückt werden$c$. Genau wie in SI-Einheiten hat das Meter einen Zahlenwert von 1 und jede Entfernung kann als ein Betrag von m ausgedrückt werden. So könnte man zum Beispiel sagen, dass man mit einer Geschwindigkeit von unterwegs ist$v=0.000001\,\mathrm{c}$. Oft lassen wir die Einheiten in Berechnungen der Einfachheit halber weg, aber wir tun dies auch im SI-System.

Während der vorsichtigere Ansatz tatsächlich darin besteht zu sagen, dass die Einheiten immer noch da sind, schreiben wir sie einfach nicht als solche, ich ziehe es vor, darüber nachzudenken, wie es DJBunk vorschlägt:

Durch die Verwendung bestimmter („gottgegebener“) Konstanten können wir das Konzept der Zeit in Metern genauso gut ausdrücken wie in Sekunden: Anstatt zu sagen „etwas dauert 10 Sekunden“, könnte man sagen „Es dauert so lange, wie es dauern würde ein Lichtstrahl zum Reisen$\frac{10\textrm{s}}{c}$Meter.“ Nennen Sie es Lichtmeter, wenn Sie so wollen. Es ist analog zu der Art und Weise, wie wir Entfernungen in Zeiteinheiten ausdrücken, auch mit$c$, wenn wir von "Lichtjahren" sprechen. Mit einer ähnlichen Argumentation können Sie andere Einheiten eliminieren, indem Sie sie einfach in "grundlegenderen" Einheiten ausdrücken. Welchen Satz von Einheiten Sie als "fundamental" verwenden, liegt natürlich ganz bei Ihnen.

Ein konzeptioneller Grund für die Einstellung$c = 1$ist es, bestimmte Symmetrien deutlicher hervorzuheben. Betrachten Sie zum Beispiel die relativistische Beziehung$E^2 = (|\vec{p}|c)^2 + (mc^2)^2$mit Größen ausgedrückt in SI-Einheiten, wie gezeigt. Wenn wir setzen$c=1$es wird$E^2 = |\vec{p}|^2 + m^2$, was darauf hindeutet, dass Energie, Impuls und Masse gleichgesetzt werden können. Das eine ist nur ein Ausdruck der anderen beiden. Diese Beziehung ist nicht ganz so offensichtlich, wenn Faktoren von$c$sind verstreut. Betrachten Sie als weiteres Beispiel die Lorentz-Transformation. Einstellung$c=1$zeigt die wahre Symmetrie zwischen Raum und Zeit.

Einige theoretische Physiker machen das gerne, nur um Konstanten beim Rechnen zu vermeiden, sie wählen ein Einheitensystem, in dem sie$\hbar=c_0=1$(und einige mehr davon), also werde ich eine Menge Zeug los. Der Punkt ist nur, dass sie Konstanten loswerden, indem sie sie gleich 1 machen, am Ende müssen sie wieder zu einem brauchbareren System wechseln, mks, IS oder jemand anderem.

Nicht viel, obwohl in einem gegebenen Bezugsrahmen die Geschwindigkeit gleich Null (normalerweise) ein fester Punkt auf der Skala ist. Sie haben also immer noch zwei Punkte, was ausreicht, um diese Skala zu definieren.

Betrachtet man die Lorentz-Transformationen nach so etwas wie$SO(1,3)^{\uparrow}$(der Raum, in dem die spezielle Relativitätstheorie stattfindet), werden Sie den Begriff sehen$\beta$(definiert als$v/c$) entsprechen der Größenordnung von$v$, da c als Identitätselement behandelt wird. Die Domäne von$v$wird also zwischen null und gesetzt$c$, was den Hauptgrund für die Einstellung offenbart$c=1$: alle darstellen$v$-s als Bruchteil von$c$

Trotz der Indoktrination durch Physiklehrer an Gymnasien ist Physik dimensionslos. Es können also tatsächlich alle Einheiten und dimensionsbehafteten Konstanten gelöscht werden. Nun scheint dies unmöglich zu sein, da es dann so aussieht, als würden Sie Informationen aus Gleichungen wegwerfen, die Sie dann nicht mehr zurückerhalten können, wenn Sie nur diese Gleichungen verwenden. Dies ist nicht wahr, aber um die ursprünglichen Gleichungen wiederherzustellen, muss man die geeigneten Skalierungsgrenzen der betreffenden Theorie, in diesem Fall der speziellen Relativitätstheorie, auf eine Weise studieren, die normalerweise nicht in Lehrbüchern durchgeführt wird.

Die korrekte Wiederherstellung von c in den Gleichungen der speziellen Relativitätstheorie sollte wie folgt ablaufen. Wir müssen untersuchen, was im Grenzbereich von Nullgeschwindigkeiten passiert, wenn man Energie- und Impulserhaltung vorschreibt. Natürlich kann man sagen, dass dann alles stehen bleibt. Aber die interessantere Frage ist, was passiert, wenn wir einen Film von Prozessen machen, die mit immer langsameren Geschwindigkeiten ablaufen, und wir gleichzeitig die Wiedergabegeschwindigkeit des Films beschleunigen, so dass wir die Bewegung der beteiligten Objekte weiterhin sehen können. Wir können dann die Begrenzung der Skalierung aller Geschwindigkeiten auf Null nehmen, während der Film immer noch so aussieht, als würden sich die Objekte auf dem Bildschirm mit mehr oder weniger der gleichen Geschwindigkeit bewegen. Die Art und Weise, wie sich die Objekte auf dem Bildschirm scheinbar bewegen und miteinander interagieren, wird dann durch klassische Gesetze der Physik beschrieben.

Die Gleichungen für Energie und Impuls eines freien Teilchens lauten:

Wo

Wir stellen$\vec{v} = \vec{v'}/c$und nehmen an, dass v' endlich gehalten wird, während c ins Unendliche geschickt wird. Beachten Sie, dass c hier nur ein dimensionsloser Skalierungsparameter ist. Dies läuft darauf hinaus, die Geschwindigkeit auf Null zu setzen, während in die Welt mit niedriger Geschwindigkeit hineingezoomt wird, damit sie sichtbar bleibt. Um die Geschwindigkeitsabhängigkeit der Energie sichtbar zu machen, müssen wir sie in zweiter Ordnung entwickeln$\vec{v'}/c$, während die Geschwindigkeitsabhängigkeit des Impulses in nullter Ordnung erscheint. Ersetzt man die Ausdrücke für Energie und Impuls durch diese Erweiterungen, erhält man:

Betrachten Sie nun einen elastischen Stoß, für den die obigen Ausdrücke für Energie und Impuls gelten, dh v' ist endlich. Wenn wir dann fordern, dass wir in jedem beliebigen Rahmen Impulserhaltung haben, ergibt sich, dass sowohl die Summe der Ruheenergien als auch die Summe der Impulse getrennt erhalten bleiben. Energieerhaltung impliziert dann, dass die Summe der kinetischen Energien ist

wird konserviert. Die beiden Terme in der Energiegleichung skalieren auf unterschiedliche Weise, also müssen wir eine neue Variable einführen, um sicherzustellen, dass beide Terme in der Grenze von c bis unendlich sichtbar bleiben. Wir können zB die kinetische Energie durch Setzen endlich machen

wobei angenommen wird, dass m in der Grenze von c bis unendlich bleibt. Wir müssen dann das Momentum neu skalieren:

Der gesamte umskalierte Impuls, die kinetische Energie und die "Masse" m sind dann endliche Größen, die in der Grenze von c bis unendlich erhalten bleiben. Beachten Sie, dass wir zu diesem Ergebnis kommen, unabhängig davon, wie wir die Größen endlich machen. Wir hätten genauso gut behalten können$E_{0}$endlich. Nennen wir diese dann die Masse m:

dann müssen wir den Impuls neu skalieren gemäß:

und die kinetische Energie muss neu skaliert werden gemäß:

Was dann passiert, ist die Restenergie$E_{0}$skaliert nicht wie die kinetische Energie. Wir können eine umskalierte Ruheenergie definieren$E_{0}'$das skaliert genauso wie die kinetische Energie:

Wir sehen also, dass wir in der Skalierungsgrenze mit drei endlichen unabhängigen Erhaltungsgrößen enden: Masse, kinetische Energie und Impuls, und dass, wenn wir den Neuskalierungsparameter c formal beibehalten, die Beziehung zwischen der Ruheenergie ausgedrückt in den endlichen kinetischen Energieeinheiten und die Masse ist$E_{0} = m c^2$.

Es gibt bereits viele Antworten, aber ich habe einen anderen Ansatz, und es kann helfen. Ich stelle mir Einheiten gerne als Variablen vor$c=3 \cdot 10^8 m/s$ist nur eine Gleichung in den Variablen$c$,$m$Und$s$. Wenn Sie einstellen$c=1$Sie fixieren eine der Variablen, und die anderen beiden müssen dann genügen$3 \cdot 10^8 m = s$. Wann immer Sie also eine haben$s$In jeder anderen Gleichung können Sie dies ersetzen, und dann ist alles in Bezug auf$m$, während$c$Und$s$weggegangen sind. Ich meine, sie sind wirklich verschwunden, sie sind nicht verborgen. Wenn Sie weitermachen und einstellen$\hbar =1$Auch können Sie alles in Bezug auf schreiben$eV$.