Wie setzt man ccc wieder in relativistische Gleichungen ein?

Setzen der Faktoren von$c$Und$G$zurück kann eine mühsame Angelegenheit sein. Viele von uns tun dies durch (begründete) Vermutungen, gefolgt von einer Überprüfung, ob die Vermutungen vernünftige Ergebnisse liefern.

Der rigorose Weg, dies zu tun, ist die Dimensionsanalyse, d.h. zu prüfen, ob beim Hinzufügen von Mengen alle die gleichen Dimensionen haben müssen, und dass, wenn Sie eine Gleichung haben:

$$t = \text{something}$$

Die Dimension der$\text{something}$muss Zeit sein.

Wenn Sie die Gleichung nehmen$11.9.16$für die Metrik schreibt Weinberg dies wie folgt:

$$d\tau^2 = dt^2 - R^2(t)\left(\frac{dr^2}{1-kr^2} + r^2d\theta^2 + r^2\sin^2\theta d\phi^2\right)$$

wo der Skalierungsfaktor$R(t)$ist dimensionslos. Die rechte Seite hat Zeit + Raum, um dies dimensional konsistent zu machen, müssen wir entweder den Zeitterm mit multiplizieren$c^2$oder teilen Sie den Entfernungsterm durch$c^2$. Normalerweise würden wir Ersteres tun, um Folgendes zu erhalten:

$$c^2 d\tau^2 = c^2 dt^2 - R^2(t)\left(\frac{dr^2}{1-kr^2} + r^2d\theta^2 + r^2\sin^2\theta d\phi^2\right)$$

Ein ähnliches Argument gilt für seine Gleichung$11.9.25$:

$$t = \frac{\psi + \sin\psi}{2\sqrt{k}}$$

In dieser Gleichung$\psi$ist dimensionslos und$k$hat Abmessungen von$L^{-2}$Die rechte Seite hat also Abmessungen von$L$. Um dies dimensional konsistent zu machen, multiplizieren Sie entweder mit$1/c$auf der rechten Seite bzw$c$auf der linken Seite.

Das Setzen von c = 1 bewirkt im Wesentlichen, dass Größen mit Zeitdimension in Längeneinheiten ausgedrückt werden. Wenn Sie die Längendimension einer errechneten Größe kennen, können Sie sie in Zeit umwandeln, indem Sie die entsprechende Anzahl von Faktoren einsetzen$c$, die nur als Umrechnungsfaktoren dienen. Dies läuft darauf hinaus, (1) ganz am Ende der Berechnung auszuführen.

Alternativ können Sie die hinzufügen$c$ist wie in Option (2), bevor Sie mit Ihren Berechnungen beginnen. Dies kann praktischer sein, wenn Sie komplizierte Objekte berechnen, bei denen die Dimension des Endergebnisses schwer zu erkennen ist.