Einheiten der Einstein-Hilbert-Aktion

Question

Einheiten der Einstein-Hilbert-Aktion

Einheiten
Aktion
Physik
generelle Relativität
Dimensionsanalyse
Hausaufgaben-und-Übungen

Bob

Aktion ist eine Größe mit Einheiten Energie $\times$ Zeit $=[kg \frac{m^2}{s}]$ . Die Einstein-Hilbert-Aktion ist

S_{E H} = \frac{C^{4}}{16 π G} \int \sqrt{- G} R D^{4} X

$\begin{equation} S_{EH}=\frac{c^4}{16\pi G}\int \sqrt{-g}R d^4x \end{equation}$ Betrachtet man nur die Einheiten in dieser Aktion:

\begin{array}{rcl} [S] & = & [\frac{{(\frac{M}{S})}^{4}}{\frac{M^{3}}{k G S^{2}}}] [M^{- 2} M^{4}] \\ = & [\frac{k G \times M^{3}}{S^{2}}] \end{array}

$\begin{eqnarray} [S] &=& \left[ \frac{\left(\frac{m}{s}\right)^4}{\frac{m^3}{kg s^2}}\right]\left[ m^{-2} m^4\right] \\ &=& \left[ \frac{kg \times m^3}{s^2}\right] \end{eqnarray}$ Wobei der Ricci-Skalar Einheiten von hat

m^{- 2}

$m^{-2}$ , und die Raumzeit-Metrik hat keine Einheiten. Woher kommt die zusätzliche Einheit von

m / s

$m/s$ in meiner Berechnung aus, oder habe ich vergessen, etwas anderes zu stornieren?

AccidentalFourierTransform

Hinweis: ist

d x^{0} = d t

$\mathrm dx^0=\mathrm dt$ oder

d x^{0} = c d t

$\mathrm dx^0=c\mathrm dt$ ?

Bob

So sollte mein zweiter Begriff in Klammern lauten

[m^{- 2} m^{3} s]

$\left[ m^{-2} m^3s \right]$ für

[R] [d x d y d z] [d t]

$[R][dxdydz][dt]$ ?

Ryan Unger

@AccidentalFourierTransform

c = 1

$c=1$ aber

Bob

@ocelouvsky das stimmt, wenn ich in natürlichen Einheiten arbeite, aber hier arbeite ich explizit in SI-Einheiten.

AccidentalFourierTransform

@0celouvsky ...und

8 π G = 1

$8\pi G=1$

Magma

Bob, wo genau hast du diese Formel für die gefunden?

S_{E H}

$S_{EH}$ Aktion? Ich weiß, dass es in Wikipedia zitiert wird - wie ich in meiner Antwort unten geschrieben habe -, aber ich frage mich, ob Sie es woanders gefunden haben.

Antworten (1)

Einheiten der Einstein-Hilbert-Aktion

Hinweis: ist $\mathrm dx^0=\mathrm dt$ oder $\mathrm dx^0=c\mathrm dt$ ?
So sollte mein zweiter Begriff in Klammern lauten $\left[ m^{-2} m^3s \right]$ für $[R][dxdydz][dt]$ ?
@ocelouvsky das stimmt, wenn ich in natürlichen Einheiten arbeite, aber hier arbeite ich explizit in SI-Einheiten.
Bob, wo genau hast du diese Formel für die gefunden? $S_{EH}$ Aktion? Ich weiß, dass es in Wikipedia zitiert wird - wie ich in meiner Antwort unten geschrieben habe -, aber ich frage mich, ob Sie es woanders gefunden haben.

Magma · Answer 1

Die Gleichung, die Sie geschrieben haben - die seit heute in Wikipedia erwähnt wird - geht davon aus $dx^0=dt$ .

Es ist jedoch im Allgemeinen klüger, wenn alle 4 Koordinaten dieselben Einheiten haben, daher haben die meisten (ich würde sagen alle) Tensoren Komponenten, die dieselben Einheiten teilen. Zum Beispiel: In lorentschen Koordinaten haben Riemann- und Ricci-Tensoren Einheiten $[m^{-2}]$ Und $g_{\mu\nu}$ ist dimensionslos.

Daher ist es üblich zu verwenden $dx^0=cdt$ , wie du angenommen hast. Aber jetzt wird die Aktion

S_{E H} = \frac{C^{3}}{16 π G} \int \sqrt{- G} R D^{4} X

$\begin{equation} S_{EH}=\frac{c^3}{16\pi G}\int \sqrt{-g}R d^4x \end{equation}$

wie man sie zum Beispiel leicht in der klassischen Feldtheorie von Landau & Lifshitz finden kann.

Einheiten der Einstein-Hilbert-Aktion

Bob

AccidentalFourierTransform

Bob

Ryan Unger

Bob

AccidentalFourierTransform

Magma

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Magma

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