Darstellen von Dimensionen in Ergebnissen der Dirac-Delta-Funktion

Question

Darstellen von Dimensionen in Ergebnissen der Dirac-Delta-Funktion

Einheiten
Physik
Dimensionsanalyse
Hausaufgaben und Übungen
Dirac-Delta-Verteilungen

Ariane

Die Dirac-Delta-Funktion kann definiert werden als

δ (X) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} e^{ich T X} D T

$\delta(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty e^{itx}dt$ Daraus sehen wir, dass die Dirac-Funktion Einheiten von hat

x^{- 1}

$x^{-1}$ .

Wie stellen wir die Einheiten in Fällen wie den Impuls-Eigenvektoren dar, die, wenn Einheiten enthalten sind, dargestellt werden als
$\frac{1}{\sqrt{2 π ℏ \cdot (k G^{- 1} M^{- 1} S)}} e^{\frac{ι P X}{ℏ}}$ $\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar\cdot(kg^{-1}m^{-1}s)}}e^{\frac{\iota px}{\hbar}}$ oder $\frac{1}{\sqrt{2 π ℏ}} e^{\frac{ι P X}{ℏ}} \cdot (k G^{\frac{1}{2}} M^{\frac{1}{2}} S^{- \frac{1}{2}}) ?$ $\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}e^{\frac{\iota px}{\hbar}}\cdot(kg^{\frac{1}{2}}m^{\frac{1}{2}}s^{-\frac{1}{2}})\,?$

Gibt es eine bevorzugte Möglichkeit, die Einheiten zu schreiben (nicht auf SI-Einheiten beschränkt, jedes andere System, das auch natürliche Einheiten enthält) oder lassen wir sie einfach weg, obwohl dies ohne implizierte Einheiten dimensional inkonsistent wäre.

Quellen, die ich für den Impuls-Eigenvektor finden kann, ignorieren die Einheiten der Delta-Funktion, ohne sie überhaupt zu erwähnen.

PS Das Problem tritt auf, wenn versucht wird, den Impulsoperator zu normalisieren.

Definieren

ψ_{P} (X) = A e^{\frac{ι P X}{ℏ}}

$\psi_p(x)=Ae^{\frac{\iota px}{\hbar}}$ Hier drüben,

A

$A$ hat Einheiten von

m^{- \frac{1}{2}}

$m^{-\frac{1}{2}}$ .

Normalisieren,

\int_{- \infty}^{\infty} ψ_{P_{1}}^{*} (X) ψ_{P_{2}} (X) D X

$\int_{-\infty}^\infty\psi^*_{p_1}(x)\psi_{p_2}(x)dx$

= | A |^{2} \int_{- \infty}^{\infty} e^{\frac{ι (P_{2} - P_{1}) X}{ℏ}} D X

$=|A|^2\int_{-\infty}^\infty e^{\frac{\iota \left(p_2-p_1\right)x}{\hbar}}dx$

= | A |^{2} 2 π ℏ δ (P_{2} - P_{1})

$=|A|^22\pi\hbar\delta\left(p_2-p_1\right)$ Ignorieren Sie daher die Konsistenz der Einheiten und nehmen Sie an

A

$A$ ist positiv,

A = \frac{1}{\sqrt{2 π ℏ}}

$A=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}$ Beachten Sie, dass die Einheiten nicht übereinstimmen

Antworten (4)

Darstellen von Dimensionen in Ergebnissen der Dirac-Delta-Funktion

Benutzer8153 · Answer 1

Die Dimension der Dirac-Delta-Funktion ist die Umkehrung der Dimension ihres Arguments. Also wenn $x$ ist dann eine Länge $\delta(x)$ hat die Dimension der inversen Länge.

In Ihrem Beispiel hat der Impuls-Eigenzustand in Ortsdarstellung die Wellenfunktion

ψ_{P} (X) = A e^{ich P X / ℏ}

$\psi_p(x) = A \mathrm{e}^{i p x / \hbar}$ Die Interpretation der Wellenfunktion ist die

| ψ |^{2}

$|\psi|^2$ ist eine Wahrscheinlichkeitsdichte, die eine Dimension von 1/Länge ist. Deshalb,

A

$A$ hat Dimension von

1 / \sqrt{L e n g t h}

$1/\sqrt{\mathrm{Length}}$ .

Wie Sie sagen, berechnen Sie das Skalarprodukt zweier Impuls-Eigenfunktionen mit Eigenwerten $p_1$ Und $p_2$ gibt

\int_{- \infty}^{\infty} D X ψ_{P_{1}}^{*} (X) ψ_{P_{2}} (X) = | A |^{2} \int_{- \infty}^{\infty} D X e^{ich (P_{2} - P_{1}) X / ℏ} = | A |^{2} 2 π ℏ δ (P_{2} - P_{1})

$\int_{-\infty}^\infty \mathrm{d}x \, \psi_{p_1}^*(x) \psi_{p_2}(x) = |A|^2 \int_{-\infty}^\infty \mathrm{d}x \mathrm{e}^{i(p_2-p_1)x/\hbar} = |A|^2 2\pi \hbar \delta(p_2 - p_1)$ Die linke Seite ist dimensionslos, daher auch die rechte Seite.

ℏ δ (p_{2} - p_{1})

$\hbar \delta(p_2-p_1)$ hat die Dimension Länge, also bekommen wir wieder die Dimension von

A

$A$ Ist

1 / \sqrt{L e n g t h}

$1/\sqrt{\mathrm{Length}}$ .

Die Frage ist, wie wir A darstellen. A hat einen Wert von $\frac{1}{2\pi\hbar}$ zusammen mit Einheiten, die aus der Delta-Funktion stammen

Wojciech Morawiec · Answer 2

Die Einheiten addieren sich in dem von Ihnen angegebenen Beispiel:

Sie haben richtig festgestellt, dass die Deltaverteilung die Dimension der inversen Dimension ihres Arguments hat. Dies kann auf verschiedene Weise, zB durch Anschauen, gesehen werden $\int f(x)\delta(x-x_0) dx = f(x_0)$ , wobei die LHS beliebige Maße haben muss $f$ hat.

Dabei betrachten wir die Abmessungen von $\lvert A \rvert^2 2\pi\hbar \;\delta(p_1-p_2)$ :

[| A |^{2} 2 π ℏ δ (P_{1} - P_{2})] = L^{- 1} [ℏ δ (P_{1} - P_{2})] = L^{- 1} \frac{[ℏ]}{[(P_{1} - P_{2})]} = L^{- 1} [X] = L^{- 1} L^{1} = 1,

$\left[\lvert A \rvert^2 2\pi\hbar\; \delta(p_1 - p_2) \right] = \textsf{L}^{-1} \left[ \hbar \delta(p_1-p_2) \right] = \textsf{L}^{-1} \frac{\left[ \hbar \right]}{[(p_1-p_2)]} = \textsf{L}^{-1} [x] = \textsf{L}^{-1} \textsf{L}^{1} = 1,$ wo ich das verwendet habe

\frac{p}{ℏ}

$\frac{p}{\hbar}$ muss inverse Dimensionen von haben

x

$x$ um das Argument der Exponentialfunktion dimensionslos zu machen.

_{NB: Für $\psi_p(x)=A\exp(\frac{ipx}{\hbar})$ , wir wollen $\int \lvert \psi \rvert^2 dx$ um eine Wahrscheinlichkeit darzustellen, die dimensionslos ist. Daraus folgt das $A$ muss Maße haben $\textsf{L}^{-\frac12}$ .}

Entschuldigung, ich habe den Fehler in der Frage bearbeitet, ich wollte, dass es so ist $m^{-\frac{1}{2}}$
@ArianaGrande Schön, dann sind wir auf der gleichen Seite :)
Im Beispiel jedoch $A^2$ wird gezeigt $\frac{1}{2\pi\hbar}$ für Normalisierungszwecke, also wie wir die Einheiten der Deltafunktion in der ursprünglichen Wellenfunktion darstellen $Ae^{\frac{\iota px}{\hbar}}$
@ArianaGrande Ok, ich bin verwirrt: In der Bearbeitung Ihrer Frage sagen Sie etwas in der Art von "Ignorieren der Einheitskonsistenz, die Einheiten stimmen nicht überein". Was genau fragst du? $A$ hat keine Maße von $(2\pi\hbar)^{-1/2}$ , es hat Abmessungen von $(2\pi\hbar)^{-1/2} (\mathrm{kg}\mathrm{\frac{m}{s}})^{1/2}$ wegen der Einheiten der Delta-Verteilung, die in diesem Fall die Dimension des inversen Impulses hat.
Ja, da gibt es ein Problem, die Frage ist, wie soll ich die zusätzlichen Einheiten ausdrücken, ach und die $kg\frac{m}{s}$ sollte in den inversen Stamm gehen. (Oh, und die letzten Änderungen sind nur Formatierungsänderungen, kein Inhalt hinzugefügt)
@ArianaGrande Die Quadratwurzel sollte nicht die Umkehrung sein, weil ich über die Einheiten von spreche $A$ , die umgekehrte Einheiten von hat $\delta(p)$ , was die Umkehrung der Umkehrung von ist $p$ . Wie auch immer, da Sie anscheinend nach der Notation fragen, würde ich einfach so etwas schreiben wie $A = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\sqrt{\mathrm{kg}\mathrm{\frac{m}{s}}}$ .
Ja, ich habe nur nach einer Notation gefragt. Und ja, es hätte root sein sollen, nicht inverse root

Noiralef · Answer 3

Ich bin mir nicht ganz sicher, was du mit der Notation meinst, z

\frac{1}{\sqrt{2 π ℏ \cdot (k G^{- 1} M^{- 1} S)}} e^{\frac{ι P X}{ℏ}} .

$\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar\cdot(kg^{-1}m^{-1}s)}}e^{\frac{\iota px}{\hbar}}.$

Die Impuls-Eigenzustände sind $\psi_p(x) = \frac{1}{2\pi\hbar} e^{ipx/\hbar}$ , dies gilt in jedem Einheitensystem. Du musst nicht mit irgendwelchen Einheiten multiplizieren. Im SI-System hat dies Einheiten von

\begin{matrix} (*) & \frac{1}{\sqrt{k G M^{2} S^{- 1}}} . \end{matrix}

$\frac{1}{\sqrt{kg\, m^2\, s^{-1}}} . \tag{*}$

Definieren
$ψ_{P} (X) = A e^{\frac{ι P X}{ℏ}}$ $\psi_p(x)=Ae^{\frac{\iota px}{\hbar}}$ Hier drüben, $A$ hat Einheiten von $m^{-1}$ .

Beachten Sie, dass $\int |\psi_p(x)|^2\, dx \neq 1$ (der Zustand ist nicht normalisierbar), daher gibt es keinen Grund, warum die Dimension von $A$ sollte umgekehrte Länge haben! Was wir anstelle der Normalisierung verwenden, ist Folgendes:

⟨ P^{'} ∣ P ⟩ = \int ψ_{P} (X) ψ_{P^{'}} (X)^{*} D X = δ (P^{'} - P),

$\langle p' \mid p \rangle = \int \psi_p(x) \psi_{p'}(x)^\ast dx = \delta(p'-p) ,$ Hier das

δ

$\delta$ -Funktion hat Einheiten von

k g^{- 1} m^{- 1} s

$kg^{-1}\, m^{-1}\, s$ die voll kompatibel mit (*) ist.

Oder vielleicht hilft es dir, darüber nachzudenken

δ (X^{'}) = ⟨ X^{'} | X = 0 ⟩ = \int ψ_{P} (0)^{*} ψ_{P} (X^{'}) D P = \frac{1}{2 π ℏ} \int e^{ich P X^{'} / ℏ} D P,

$\delta(x') = \langle x' | x=0 \rangle = \int \psi_p(0)^\ast \psi_p(x')\, dp = \frac{1}{2\pi\hbar} \int e^{ipx'/\hbar}\, dp ,$ wobei die Einheiten (natürlich) auch übereinstimmen.

$\psi(x)$ ist die Wahrscheinlichkeitsdichte der Position, die Einheiten von haben sollte $m^{-\frac{1}{2}}$ , A hat jedoch Einheiten von $kg^{-\frac{1}{2}}m^{-1}s^{\frac{1}{2}}$
@ArianaGrande Jetzt sehe ich, woher du kommst. Ich habe meine Antwort bearbeitet: $\int |\psi_p(x)|^2\, dx$ ist nicht einer!
Wenn dies nicht der Fall ist, gibt es massive Auswirkungen auf die Quantenmechanik!
@ArianaGrande Momentum und Positionseigenzustände sind nicht Teil des Hilbert-Raums. Das Thema ist mathematisch etwas knifflig. Schauen Sie sich zum Beispiel hier an (wo es um Positionseigenzustände geht, aber es ist das gleiche Problem): physical.stackexchange.com/questions/339177/…
Guter Punkt, in dem kurzen Abschnitt, den ich vorgestellt habe, werden viele, viele Begründungsschritte ignoriert. Die Wellenfunktion sollte jedoch immer noch Einheiten von haben $m^{-\frac{1}{2}}$ und die Gesamtwahrscheinlichkeit, ein Teilchen an einer beliebigen Position zu messen, ist 1. PS, die Impuls-Eigenvektoren sind wirklich nur die Position, die völlig undefiniert ist
@ArianaGrande Es tut mir leid, aber ... nein ;) Das Problem mit $\psi_p(x)$ ist das $|\psi_p(x)|^2$ ist konstant. In einem unendlichen Raum kann es keine konstante Wahrscheinlichkeitsdichte ungleich Null geben, die sich zu 1 summiert. Das ist der Grund $\psi_p(x)$ ist kein tatsächlicher physikalischer Zustand, sondern nur ein mathematisches Werkzeug. Herkömmlicherweise wird ihre Normierung so gewählt, dass sie keine Dimensionen von hat $(\text{length})^{-1/2}$ obwohl es eine Wellenfunktion ist. Mit anderen Worten, $|\psi_p(x)|^2$ hat herkömmlicherweise keine Einheiten der Wahrscheinlichkeitsdichte.

Nat · Answer 4

tl; dr - Einige der gängigen "Definitionen" der Dirac-Delta-Funktion sind nicht mathematisch streng, sondern eher konzeptionell. Die Verwirrung um Einheiten scheint darauf zurückzuführen zu sein, dass diese Funktionen wörtlicher genommen werden als beabsichtigt. In Wirklichkeit ist es ein Faktor ohne Einheit.

Die Dirac-Delta-Funktion kann definiert werden als
$δ (X) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} e^{ich T X} D T$ $\delta(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty e^{itx}dt$ Daraus sehen wir, dass die Dirac-Funktion Einheiten von hat $x^{-1}$ .

Das folgt nicht. Die Dirac-Delta-Funktion erzeugt einen Wert ohne Einheit, der normalerweise als Faktor für einen anderen Term verwendet wird, um den Wert dieses Terms für die meisten Werte auf Null zu setzen $x$ .

Quellen, die ich für den Impuls-Eigenvektor finden kann, ignorieren die Einheiten der Delta-Funktion, ohne sie überhaupt zu erwähnen.

Sie weisen keine Einheiten zu, weil sie der Dirac-Delta-Funktion selbst fehlen.

Über den Irrglauben, dass Einheiten storniert werden

Unten in den Kommentaren erklärte @BySymmetry die Verwirrung als Folge der Beobachtung, dass

\int D X δ (X) F (X) = F (0),

$\int \text{d}x{\delta}\left(x\right)f\left(x\right)=f\left(0\right),$ wo, wenn wir wollen, dass die Einheiten stornieren, dann brauchen wir

δ (x)

${\delta}\left(x\right)$ Einheiten von haben

x^{- 1}

$x^{-1}$ .

Wie Wikipedia anmerkt:

Folglich hat das Delta-Maß kein Radon-Nikodym-Derivat – keine wahre Funktion für die Eigenschaft
$\int_{- \infty}^{\infty} F (X) δ (X) D X = F (0)$ $\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\delta (x)\,dx=f\left(0\right)$ hält. ^[21] Infolgedessen ist die letztere Notation ein bequemer Notationsmissbrauch und kein Standardintegral (Riemann- oder Lebesgue-Integral).

- Dirac-Delta-Funktion , Wikipedia

Kurz gesagt, diese Gleichung ist ein "Notationsmissbrauch", nicht die tatsächliche Definition einer Dirac-Delta-Funktion. Also, die Idee, dass es Einheiten von haben sollte $x^{-1}$ basierend auf dieser Gleichung ist nur ein Missverständnis.

Konzeptionell ist das Dirac-Delta nur ein Gerät, um eine Funktion überall außer an einem Punkt zu Null zu machen. Es ist im Grunde ein $0$ -oder- $1$ Multiplikationsfaktor, es fehlen also nur Einheiten. Sie können diese Definition so aufschreiben, wie Sie möchten, damit sie in die herkömmliche mathematische Notation passt, aber am Ende des Tages ist es das.

Beispiel für den Irrtum

Wenn Sie Einheiten haben, bedeutet dies, dass Sie, wenn Sie die Einheiten ändern – beispielsweise von Metern in Lichtjahre – einen Multiplikationsfaktor einfügen müssen. Aber wenn Sie einen Wert mit einem Dirac-Delta berechnen und dann Ihre Längeneinheit wechseln, multiplizieren Sie tatsächlich mit einem solchen Umrechnungsfaktor? Dies wäre ein mathematischer Fehler.

Das Problem ist, dass ein Dirac-Delta sich über einen unendlich kleinen Raum erstrecken soll, sodass es keinen Sinn macht, ihm Proportionalität durch Einheiten zuzuweisen.

Das Dirac-Delta hat tatsächlich Einheiten von $x^{-1}$ . Dies ist deutlich aus der definierenden Beziehung der Delta-Funktion ersichtlich $\int dx\; \delta(x) f(x) = f(0)$ . Seit $dx$ hat Einheiten von $x$ , $\delta(x)$ muss Einheiten von haben $x^{-1}$
@BySymmetry Ah, ich bekomme die Verwirrung - ich werde die Antwort aktualisieren.
@BySymmetry Danke für den Hinweis auf das Problem. Behebt das Update das?
@Nat Zu sagen, dass die Dirac-Delta-Funktion keine Einheiten hat, scheitert an der Identität $\delta(ax)=\frac{1}{|a|}\delta(x)$ für $a\neq 0$ Darüber hinaus ist eine andere Definition der Dirac-Delta-Funktion die Fourier-Transformation von 1 (Einheiten). Was auch implementiert, dass die Delta-Funktion die Umkehrung der Einheiten ihrer Eingabe hat
@ArianaGrande Wenn Sie das Kleingedruckte dieser Identität lesen, gilt es nur, wenn $\alpha$ ist ein Skalar ungleich Null, dh ohne Einheit.
@Nat Was du im Grunde sagst, ist das $\delta(x)$ hat allein keine Bedeutung $\int \bullet \delta(x) dx$ was einheitenlos ist. Aber es ist oft hilfreich, zu behandeln $\delta(x)$ als ob es eine Funktion wäre, und dann hat es Einheiten von $x^{-1}$ . Außerdem gibt es keinen Grund, warum die von Ariana erwähnte Identität nur für Skalare gelten sollte $\alpha$ .
@Noiralef Aber es hat keine Einheiten von $x^{-1}$ ; Sie können es als Funktion behandeln, ohne auf diesen Fehler zurückzugreifen. Wenn es hilft, können Sie sagen, dass die Integration eher die umgekehrten Einheiten als einfach ergibt $1$ .
Der Kommentar von @Nat Ariana widerspricht der Aussage in Ihrer Antwort, dass es ein Fehler wäre, einen einheitenlosen Umrechnungsfaktor einzufügen, wenn man die Skalierung der Variablen ändert, indem man beispielsweise von Metern in Lichtjahre geht. Eigentlich sollte man genau das tun.
@ user8153 Ich habe Probleme zu erkennen, wie das Verschieben von Einheiten in dieser von Ariana bereitgestellten Gleichung den Proportionalitätsfaktor der Einheit erfordern würde, um die Korrektheit aufrechtzuerhalten. Könnten Sie Arianas Gleichung schreiben, aber mit Werten anstelle der Variablen, um mir zu helfen, das Problem zu sehen?
@Nat Folgendes hatte ich im Sinn: Nehmen wir an, Sie haben $\delta(x)$ , Wo $x$ ist eine Länge. Jetzt könnte ich eine Längeneinheit A (sagen wir einen Meter) wählen und schreiben $\delta(x) = (1/A) \delta(x/A)$ . Ich könnte auch eine andere Längeneinheit B (sagen wir ein Lichtjahr) wählen und bekommen $\delta(x) = (1/B) \delta(x/B)$ . Um zwischen diesen beiden Ausdrücken umzuwandeln, benötige ich einen konstanten Skalierungsfaktor: $\delta(x/B) = (B/A) \delta(x/a)$ .

Darstellen von Dimensionen in Ergebnissen der Dirac-Delta-Funktion

Ariane

Antworten (4)

Benutzer8153

Ariane

Wojciech Morawiec

Ariane

Wojciech Morawiec

Ariane

Wojciech Morawiec

Ariane

Wojciech Morawiec

Ariane

Noiralef

Ariane

Noiralef

Ariane

Noiralef

Ariane

Noiralef

Nat

Über den Irrglauben, dass Einheiten storniert werden

Beispiel für den Irrtum

Nat

Durch Symmetrie

Nat

Nat

Ariane

Nat

Noiralef

Nat

Benutzer8153

Nat

Benutzer8153