c4c4c^4 in Einstein-Feldgleichungen

Es ist eine einfache Dimensionsanalyse. Die Theorie hat zwei grundlegende Parameter, die Newtonsche Konstante$G$, die die Stärke der Anziehungskraft bestimmt. es hat Einheiten$\frac{N\cdot m^{2}}{kg^{2}} = \frac{kg\cdot m}{s^{2}}\left(\frac{m^{2}}{kg^{2}}\right) = \frac{m^{3}}{kg\cdot s^{2}}$. Zweitens haben Sie die Lichtgeschwindigkeit, die Ihnen sagt, wie viel Zeit Sie für wie viel Raum bekommen, und sie hat offensichtlich Einheiten$m/s$.

Dann haben Sie die Einstein-Gleichung. Krümmung hat Einheiten$m^{-2}$nur aus den Grundgleichungen dafür, und Sie haben

$$(\mbox{curvature terms}) = (\mbox{const.})(\mbox{stress-energy tensor})$$

Welche Einheiten soll die Konstante haben? Nun, der Stress-Energie-Tensor hat per Definition Druckeinheiten. Dies bedeutet übersetzt:

$$\frac{N}{m^{2}} = \frac{kg\cdot m}{s^{2}\cdot m^{2}} = \frac{kg}{s^{2}\cdot m}$$

Wenn unsere Gleichung also irgendeinen Sinn ergeben soll, setzt sich die Konstante nur aus zusammen$G$Und$c$und eine reine Zahl, muss die Form haben$C\,G^{n}c^{k}$, und es muss Einheiten von haben$\frac{s^{2}}{m\cdot kg}$

Das merken wir nur$G$hat einen Faktor von Kilogramm, also$n$muss 1 sein.

Alles zusammen haben wir:

$$\begin{align}\frac{s^{2}}{m\cdot kg} &= \frac{m^{3}}{kg\cdot s^{2}}\frac{m^{k}}{s^{k}}\\ \frac{s^{4}}{m^{4}} &= \frac{m^{k}}{s^{k}} \end{align}$$

Deshalb$k = -4$, und wir haben Einsteins Gleichung:

$$R_{ab} - \frac{1}{2}Rg_{ab} = C \frac{G}{c^{4}}T_{ab}$$

Der Wert von C kann nicht aus ersten Prinzipien bestimmt werden. Der Vergleich mit den Vorhersagen des Newtonschen Gesetzes gibt uns den Wert$8\pi$, was behebt$G$den gleichen Wert wie die haben$G$im Newtonschen Gesetz.

Sie wissen, dass Sie in GR eine lokale Minkioski-Raumzeit benötigen. Dazu können Sie in jedem Punkt Ihrer Mannigfaltigkeit die Koordinaten so ändern, dass die Metrik diagonal ist und das Quadrat der infinitesimalen Verschiebung ist$ds^2=\left(ct\right)^2-x^2-y^2-z^2.$Also hier ist, wo die$c$komme aus.

Dann, wenn Sie die Kopplungskonstante berechnen möchten$k=\frac{8\pi G}{c^4}$, wenn Sie anfangen zu berücksichtigen, dass es eine gibt$c$In der Metrik finden Sie die richtige Potenz von$c$In$k.$