Einheiten von Geschwindigkeitskomponenten und metrischen Tensorkomponenten

Die Einheiten dieser Größen variieren mit dem Koordinatensystem.

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Betrachten Sie den Minkowski-Raum mit den üblichen kartesischen Raumkoordinaten. Wir haben

$$ds^2 = -c^2 \mathrm{d}t^2 + \mathrm{d}x^2 + \mathrm{d}y^2 + \mathrm{d}z^2.$$ Die metrischen Koeffizienten ungleich Null sind $$\begin{align} g_{tt} = -c^2 & \sim \frac{L^2}{T^2} \\ g_{xx} = g_{yy} = g_{zz} = 1 & \sim 1. \end{align}$$ $4$-Geschwindigkeiten kommen aus der Parametrisierung Ihrer Koordinaten mit $\tau \sim T$und Differenzieren bezüglich dieses Parameters. Daher $$\begin{align} v^t & \sim \frac{T}{T} = 1 \\ v^x,\ vy,\ vz & \sim \frac{L}{T}. \end{align}$$

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Stattdessen könnten wir Zylinderkoordinaten mit betrachten

$$ds^2 = -c^2 \mathrm{d}t^2 + \mathrm{d}r^2 + r^2 \mathrm{d}\theta^2 + \mathrm{d}z^2.$$ Jetzt sind unsere metrischen Koeffizienten ungleich Null $$\begin{align} g_{tt} = -c^2 & \sim \frac{L^2}{T^2} \\ g_{rr} = g_{zz} = 1 & \sim 1 \\ g_{\theta\theta} = r^2 & \sim L^2. \end{align}$$ und unsere Geschwindigkeitskomponenten haben Einheiten $$\begin{align} v^t & \sim \frac{T}{T} = 1 \\ v^r,\ v^z & \sim \frac{L}{T} \\ v^\theta & \sim \frac{1}{T}. \end{align}$$

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Du konntest nur haben$v^\alpha \sim 1/T$ immer , wenn Sie Ihre Koordinaten immer als dimensionslos interpretierten, aber immer noch darauf bestanden, dass die Eigenzeit Zeiteinheiten hat. Ich habe noch nie jemanden gesehen, der das getan hat, und es ist sicherlich eine seltsame Art, Dinge anzugehen. Darüber hinaus durch Beharren$g_{\alpha\beta} \sim L^2$, selbst für die Zeit-Zeit- und Zeit-Raum-Komponenten erhalten Sie, dass richtige Volumenelemente reine "Längen" sind:

$$\mathrm{d}V = \sqrt{-g} \, \mathrm{d}x^0 \, \mathrm{d}x^1 \, \mathrm{d}x^2 \, \mathrm{d}x^3 \sim L^4 \not\sim L^3 T.$$ Das heißt, die zeitähnliche Koordinate selbst ist eher mit einer „Länge“ als mit einer „Zeit“ verbunden.