Was sind die Einheiten der Größen in der Einsteinschen Feldgleichung?

Der metrische Tensor ist einheitslos. Das sieht man daran, dass$g_{\mu\nu}v^\mu v^\nu$gibt das Quadrat der Vierervektorlänge von an$v$, und hat somit die Einheit von$v^2$.

Die skalare Krümmung ist eine Kontraktion des Ricci-Tensors. Eine Kontraktion ändert die Einheiten nicht. Auch der Ricci-Tensor ist eine Kontraktion des Riemann-Tensors.

Der Riemann-Tensor besteht aus Koordinatenableitungen der Verbindungskoeffizienten, die aus Koordinatenableitungen der Metrik bestehen. Da jede Koordinatenableitung eine Einheit hinzufügt$m^{-1}$, der Ricci-Tensor und der Krümmungsskalar haben beide Einheiten$\mathrm{m}^{-2}$.

Die kosmologische Konstante muss dann natürlich auch die Einheit haben$\mathrm m^{-2}$, damit die Einheiten übereinstimmen.

$T$, der Spannungs-Energie-Tensor, hat die Einheit der Energiedichte oder des Drucks (beide sind eigentlich die gleiche Einheit, wenn man genauer hinsieht), das heißt,$\mathrm J/\mathrm m^3$oder$\mathrm N/\mathrm m^2$.

• $[T_{\mu\nu}]$ist$J/m^3$

• $[g_{\mu\nu}]$ist$1$

• $[R_{\mu\nu}]$,$[\Lambda]$, und$[R]$ist$1/m^2$

Die obigen Antworten sind richtig, aber die Notation ist schlecht. Wenn sie "m" schreiben, meinen sie "Meter" und die korrekte Einheit für die Dimensionsanalyse ist "Länge = L".

$[R_{\mu\nu}]$,$[Λ]$, und$[R]$haben Einheiten von$\rm\frac{1}{L^2}$

$[T_{\mu\nu}]$hat Einheiten von Energie/Volumen = Druck = Kraft/Fläche =$\rm\frac{mass}{[L*t^2]}$

Einsteins Konstante$k$setzt diese um. es ist$k = \frac{8\pi G}{c^4}$und hat Einheiten von$\rm\frac{t^2}{L*mass}$, also wandelt es die Stress-Energie um$[T_{\mu\nu}]$zu den Einheiten auf der anderen Seite der Feldgleichung, die alle metrischen Teile hat, von denen jeder Term dimensional ist$\rm\frac{1}{L^2}$.

Ich empfehle diese Übersicht für eine detaillierte Analyse der Dimensionsanalyse in der Relativitätstheorie, ihre Verbindung mit den operativen Bedeutungen der Tensoren und einen Überblick über die Literatur:

• Mana (2020): Dimensionsanalyse in der Relativitätstheorie und in der Differentialgeometrie (die arXiv-Version ist detaillierter als die veröffentlichte Version).

Hier eine Zusammenfassung daraus.

Für die Dimensionsanalyse verwende ich ISO 80000 - Konventionen und -Notationen. Ich verwende manchmal Notationen wie$\pmb{T}{}_{\bullet}{}^{\bullet}$um anzuzeigen, dass der Tensor$\pmb{T}$ist kovariant in seinem ersten Slot und kontravariant in seinem zweiten; Ich nenne dies einen "ko-kontravarianten Tensor".

Koordinaten

Zunächst einmal ist eine Koordinate nur eine Funktion, die jedem Ereignis auf der (Raumzeit-) Mannigfaltigkeit oder einem Bereich davon eine physikalische Größe zuordnet. Zusammen mit den anderen Koordinaten ermöglicht uns diese Funktion, das Ereignis innerhalb dieser Region eindeutig zu identifizieren. Eine Koordinate kann also potentiell beliebige Maßeinheiten haben. Es könnte der Abstand von etwas sein und somit Dimensionen haben$\mathrm{L}$; oder die Zeit, die seit etwas vergangen ist, und so$\mathrm{T}$; oder ein Winkel,$1$; oder sogar eine Temperatur, Abmessungen$\Theta$.

Die Dimensionen der Koordinaten spielen keine Rolle, wie wir gleich sehen werden.

Tensoren

Stellen Sie sich ein Koordinatensystem vor$(x^i)$mit Maßen$(\mathrm{X}_i)$.

Beginnen Sie mit einem Beispiel und nehmen Sie einen kontra-kontra-kovarianten Tensor$\pmb{A}$, mit Komponenten$(A{}^{ij}{}_k)$in irgendeinem Koordinatensystem. Dann das Bauteil$A{}^{ij}{}_k$muss folgende Maße haben:

Was wir gerade gesehen haben, ist offensichtlich konsistent unter Koordinatenänderungen. Zum Beispiel die Umwandlung von Komponenten in ein grundiertes System,

Dieses Beispiel lässt sich auf offensichtliche Weise auf Tensoren jeden Typs verallgemeinern.

Tensoroperationen

Unter Anwendung der gerade besprochenen Argumentation können wir den dimensionalen Effekt der Hauptoperationen auf Tensoren finden:

• Tensormultiplikation$\otimes$multipliziert die Dimensionen:$\dim(\pmb{A}\otimes\pmb{B}) = \dim(\pmb{A})\dim(\pmb{B})$;
• Gleiches gilt für das Außenprodukt $\land$;
• dasselbe für Kontraktion ( aber ohne Anheben oder Absenken der Indizes! siehe unten);
• Pullback und Pushforward ändern nicht die Dimensionen des Tensors, den sie abbilden;
• die Lie-Ableitung in Bezug auf ein Vektorfeld$\pmb{v}$multipliziert mit den absoluten Dimensionen dieses Vektors:$\dim(\mathrm{L}_{\pmb{v}}\pmb{A}) =\dim(\pmb{v})\dim(\pmb{A})$;
• Gleiches gilt für das Innenprodukt $\mathrm{i}_{\pmb{v}}$;
• die äußere Ableitung $\mathrm{d}$ändert nicht die Dimensionen des Formulars, auf dem es arbeitet:$\dim(\mathrm{d}\pmb{\omega}) = \dim(\pmb{\omega})$(Wir könnten die Cartan-Identität verwenden , um dies zu überprüfen);
• dasselbe für die Integration einer Form über eine Untermannigfaltigkeit;
• der kovariante Ableitungsoperator $\nabla$ändert auch nichts an den Abmessungen:$\dim(\nabla\pmb{A}) = \dim(\pmb{A})$. Aber beachte das$\dim(\nabla_{\pmb{v}}\pmb{A}) = \dim(\pmb{v})\dim(\pmb{A})$.

Der dimensionale Effekt des kovarianten Ableitungsoperators kann schnell überprüft werden, indem beachtet wird, dass der Ausdruck von$\nabla\pmb{A}$enthält folgenden Begriff:

• das Christoffel-Symbol $\varGamma{}^i{}_{jk}$Maße hat $$\dim(\varGamma{}^i{}_{jk}) = \mathrm{X}_i\,{\mathrm{X}_j}^{-1}\,{\mathrm{X}_k}^{-1}.$$

Kurven

Betrachten Sie eine Kurve zur Mannigfaltigkeit,$c\colon s \mapsto P$, wobei der Parameter$s$Dimension hat$\mathrm{S}$. Betrachten wir die Mannigfaltigkeit als „dimensionslos“ (sofern sinnvoll), dann die Dimensionen des Tangentenvektors$\dot{c}$zur Kurve sind$\dim(\dot{c}) = \mathrm{S}^{-1}$. Dies folgt entweder aus$\dot{c} := \partial x^i[c(s)]/\partial s\; \partial_{x^i}$, oder in Anbetracht dessen$\dot{c}$kann als Vorstoß von interpretiert werden$\partial_s$, das ist,$c_*(\partial_s)$.

Metrischer Tensor

Aus der obigen Diskussion sehen wir, dass die Komponente$g_{ij}$der Metrik$\pmb{g}$Maße hat$\dim(g_{ij}) = \mathrm{Z}\,\mathrm{X}_i\,{\mathrm{X}_j}^{-1}\,{\mathrm{X}_k}^{-1}$, wo$\mathrm{Z}$sind die absoluten Dimensionen der Metrik. Was sind diese absoluten Dimensionen?

Die Antwort hängt wahrscheinlich davon ab, wie Sie die operative Bedeutung der Metrik sehen. Hier biete ich meine persönliche Sichtweise an. Wir können die Metrik verwenden, um die "Länge" von (zeitartigen oder raumartigen) Pfaden in der Raumzeit zu messen. Die "Länge" eines Pfades$c(s)$mit$s\in [a,b]$ist

Beachten Sie jedoch, dass sich einige wichtige Autoren der Relativitätstheorie (siehe Referenzen in der oben zitierten Übersicht) auf zeitähnliche Pfade konzentrieren, deren „Länge“ von einer Uhr gemessen wird, die diesen Pfad als Weltlinie hat – es ist ihre eigentliche Zeit. Daher definieren einige Autoren stattdessen

Durch unser übliches Argument ist es möglich zu sehen, dass der Riemann - Krümmungstensor$\pmb{R}{}^{\bullet}{}_{\bullet\bullet\bullet}$, der Ricci- Tensor$\pmb{R}_{\bullet\bullet}$, und der Einstein-Tensor$\pmb{G}_{\bullet\bullet}$sind dimensionslos –$1$– und die skalare Krümmung hat Dimensionen$\mathrm{L}^{-2}$. Beachten Sie, dass die Riemann- und Ricci-Tensoren (mit dem oben angegebenen kontra-/kovarianten Typ) keine Metrik für ihre Definition benötigen, sondern eine affine Verbindung. Sie sind dimensionslos, egal welche Dimensionen wir der Metrik geben. Konstruktionsbedingt ist auch der (voll kovariante) Einstein-Tensor immer dimensionslos.

Eine wichtige Operation, die mit der Metrik durchgeführt wird:

• "Senken eines Index" eines Tensors multipliziert seine Dimensionen mit$\mathrm{L}^2$, und "Erhöhen eines Index" multipliziert sie mit$\mathrm{L}^{-2}$(wenn Sie meiner Diskussion oben zustimmen).

Spannungs-Energie-Impuls-Tensor

Was sind die absoluten Dimensionen des co-kontravarianten Spannungs-Energie-Impuls-Tensors?$\pmb{T}{}_{\bullet}{}^{\bullet}$? Auch hier müssen wir nach einer operationalen Bedeutung suchen. Zu diesem Thema wird noch geforscht (siehe oben). Die wichtigsten Punkte sind in dieser Antwort zusammengefasst . Die Literatur bietet drei Hauptkonventionen:

1. $\operatorname{dim}(\pmb{T}) := \mathrm{E}\mathrm{L}^{-1} = \mathrm{M} \mathrm{L} \mathrm{T}^{-2}$

2. $\operatorname{dim}(\pmb{T}) := \mathrm{M} \mathrm{L}^{-1}$

3. $\operatorname{dim}(\pmb{T}) := \mathrm{M}\mathrm{L}^{-3} \mathrm{T}^{2}$

Die erste ist bei weitem die gebräuchlichste, die zweite wird von wenigen, aber wichtigen Autoren verwendet, die dritte von McVittie.

Einstein-Konstante

Einsteins Konstante$\kappa$bezieht sich also auf eine dimensionslose Größe und die Dimension des Spannungs-Energie-Impuls-Tensors:

Wenn wir die Konvention 1. oben verwenden, dann ist das leicht zu sehen$\operatorname{dim}(\kappa) = \mathrm{E}^{-1}\,\mathrm{L}$, und das sind die Abmessungen von$8\pi G/c^4$. Dies ist die am weitesten verbreitete Konvention.

Wenn wir die obige Konvention 2 verwenden, dann$\operatorname{dim}(\kappa) = \mathrm{M}^{-1}\,\mathrm{L}$, und das sind die Abmessungen von$8 \pi G/c^2$. Dieser Wert für die Einstein-Konstante wird tatsächlich von Fock (1964 S. 199) und einigen anderen Autoren (z. B. Synge, Adler-Bazin-Schiffer, McVittie) verwendet.

Weitere Referenzen

• Burke (1980): Raumzeit, Geometrie, Kosmologie (wissenschaftliche Universitätsbücher)
• Burke (1987): Angewandte Differentialgeometrie (Cambridge)
• Eckart (1940): Die Thermodynamik irreversibler Prozesse. III. Relativistische Theorie der einfachen Flüssigkeit , Phys. Rev. 58, 919.
• Fock (1964): Die Theorie von Raum, Zeit und Gravitation (Pergamon)
• Misner, Thorne, Wheeler (1973): Gravitation (Freeman)
• Schouten (1989): Tensoranalyse für Physiker (Dover, 2. Aufl.)