Unendliche Ebenengravitation: Was ist "Massendichte pro Flächeneinheit"?

Kürzlich habe ich gelernt, dass die Schwerkraft einer Unendlichkeitsebene unabhängig von der Entfernung von dieser Ebene ist . Tatsächlich ist es so

G = 2 π G σ

Wo σ ist "die Massendichte der Ebene pro Flächeneinheit".

Ich habe Mühe zu verstehen, was das eigentlich bedeutet. Ich verstehe die Massendichte (pro Volumen), aber "pro Fläche"? Wäre diese nicht immer Null?

Betrachtet man beispielsweise a 2 M M dickes Kupferblech, wobei Kupfer eine Massendichte von hat ρ Cu = 8.92 G / C M ³ . Was ist denn das σ auf der Blechoberfläche? Ist es nur (zumindest ungefähr) die Stapeldichte auf jedem Oberflächenpunkt, dh σ = w ⋅ ρ Wo w = 0,2 C M ist die Dicke der Platte?

Was ist, wenn die Platte aber nicht unerheblich dick ist, sagen wir mal w = 1 k M ?

Bearbeiten: Verweis auf endliche Ebene entfernt, einige Kommentare gelten möglicherweise nicht mehr.

Aber warum nicht genau das Problem mit unendlich massiver Platte mit gleichmäßiger Massendichte ρ lösen? Immerhin besteht diese Konfiguration nur aus unendlich vielen Flugzeugen, die aufeinander gestapelt sind. Die Gravitationsfeldstärke hängt schließlich von der Entfernung von der Mitte der Platte ab, aber Sie haben immer noch das gleiche Gravitationsfeld in Ebenen parallel zur Oberfläche der Platte. Durch das Lösen beider Probleme (ebene und feste Platte) können Sie selbst sehen, in welchem ​​Abstand die Annäherung Platte = Ebene schlecht ist, indem Sie die beiden Gravitationsfeldstärken vergleichen (unter der Annahme, dass die Gesamtmasse gleich ist).
Was ist "Massendichte in einer Ebene"? Ich verstehe die Massendichte (pro Volumen), aber pro Fläche? Immer Null?
Ich denke, es ist ein falscher Begriff. Es sollte nur "Masse pro Flächeneinheit" sein, zB wie viel Gramm würde die ganze Materie hinter einem Quadratzentimeter wiegen, egal wie dick das Flugzeug ist.
Sie wird auch Oberflächendichte genannt. Ich denke, einige Quellen nennen es sogar Flächendichte, aber mir fallen keine Beispiele ein.

Antworten (2)

Beginnen wir mit 1D.

Wenn Sie Kletterseile kaufen, fragen Sie den Verkäufer vielleicht: „Wie viel wiegt ein Meter Seil?“.

Diese Frage ist die gleiche wie die Frage nach der Masse pro Längeneinheit des Seils. Ja, es könnte Sie interessieren, wie hoch die tatsächliche Dichte (Masse pro Volumeneinheit) des Seils ist, aber da die Hauptvariable die Länge sein wird, abstrahieren Sie den Umfang.

Masse pro Längeneinheit = Querschnittsfläche * Dichte

Gleiches gilt für den 2D-Fall. Angenommen, Sie kaufen Material, um ein Segel zu bauen. Sie möchten wissen, was die Masse pro Flächeneinheit ist , weil sie eine relevantere Information ist als die Dichte.

Sie sehen also, wir sprechen nicht von genau 1- oder 2-dimensionalen Objekten (die eine Dichte von 0 haben sollten), sondern von Situationen, in denen nur eine oder zwei Dimensionen des betreffenden Objekts von Bedeutung sind.

Im Fall einer unendlichen Ebene leiten wir diese Formel ab, indem wir nachsehen, wie viel Masse sich in einem (imaginären) Zylinder befindet, der die Ebene überspannt, wobei die Basen des Zylinders (die beiden Scheiben) senkrecht zur Ebene stehen. Diese Masse ist immer proportional zur Fläche der Basis und völlig unabhängig von der Höhe des Zylinders (können Sie sehen, warum?). Die Dichte (oder Dicke) des Flugzeugs selbst ist uns also egal.

Wenn das Blatt eine Dicke ungleich Null hätte τ , hättest du σ = ρ τ . Jetzt nimm einfach τ → 0 + beim Halten σ Fest.

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