Sind die Energieeinheiten in höheren Dimensionen gleich?

Nehmen wir für einen Moment an, dass wir speziell an der kinetischen Energie eines einzelnen, nicht-relativistischen Teilchens interessiert sind$E=\frac{1}{2}m\vec{v}^2$. Ich füge hier die Vektornotation für die Geschwindigkeit hinzu, weil es nützlich ist, dies im Hinterkopf zu behalten$\vec{v}^2=\vec{v}\cdot\vec{v}$.

Wenn sich das Teilchen in zwei Dimensionen bewegt, dann$\vec{v}=v_x\hat{x}+v_y\hat{y}$und$\vec{v}\cdot\vec{v}=v_x^2+v_y^2$, die Geschwindigkeitseinheiten zum Quadrat hat. In drei Dimensionen,$\vec{v} = v_x\hat{x}+v_y\hat{y}+v_z\hat{z}$und$\vec{v}\cdot\vec{v} = v_x^2+v_y^2+v_z^2$, die immer noch die Einheiten der Geschwindigkeit im Quadrat hat. In vier Dimensionen,$\vec{v} = v_x\hat{x}+v_y\hat{y}+v_z\hat{z}+v_w\hat{w}$, und$\vec{v}\cdot\vec{v}=v_x^2+v_y^2+v_z^2+v_w^2$, die wiederum immer noch die Einheiten der quadrierten Geschwindigkeit hat. Dies liegt daran, dass das Addieren von zwei Mengen derselben Einheiten ihre Einheiten nicht ändert. Tatsächlich gilt dies für eine beliebige Anzahl von Dimensionen und legt nahe, dass die Energieeinheiten unverändert bleiben sollten.

Wir können dies auch allgemeiner anhand der formalen Definition von Arbeit sehen, die die Definition von Energiewandel ist:

$$W=\int_C \vec{F}\cdot d\vec{s}$$

für einen Gegenstand, auf den eine Kraft einwirkt$\vec{F}$sich entlang eines Weges bewegen$C$mit Bogenlängenparameter$d\vec{s}$. Dies ist die formale, allgemeinste Definition und gilt unabhängig davon, wie viele Raumdimensionen Sie haben. Wieder einmal können Sie sehen, dass es sich bei dieser Definition um ein Skalarprodukt handelt. Das Punktprodukt nimmt zwei Vektoren in einer beliebigen Anzahl von Dimensionen und gibt eine eindimensionale Größe (dh eine Zahl) aus. Die Arbeit kümmert sich nur um eine Komponente der Kraft, nämlich diejenige, die entlang des eindimensionalen Pfades zeigt, den das Teilchen nimmt. Egal in wie viele räumliche Dimensionen dieser eindimensionale Weg eingebettet ist, die Arbeit kümmert sich nur um Dinge, die entlang einer dieser Dimensionen passieren. Daher sollten die Arbeitseinheiten immer gleich sein, und da die Arbeit die gleichen Einheiten wie die Energie hat (sonst könnten wir sie nicht addieren), sollten auch die Energieeinheiten immer gleich sein.

Die klassische Mechanik ist bereits (effektiv) mehrdimensional.

Betrachten Sie die Bewegungsgleichung für ein Teilchen in einer Dimension:

$$\begin{align} m \ddot x(t) = F(x). \end{align}$$ Betrachten Sie nun die Bewegungsgleichung für ein Teilchen in zwei Dimensionen, $$\begin{align} m \ddot x(t) & = F_x(x,y)\\ m \ddot y(t) & = F_y(x,y), \end{align}$$ und in drei Dimensionen $$\begin{align} m \ddot x(t) & = F_x(x,y,z)\\ m \ddot y(t) & = F_y(x,y,z)\\ m \ddot z(t) & = F_z(x,y,z). \end{align}$$ Betrachten Sie nun die Bewegungsgleichung für zwei Teilchen in einer Dimension, $$\begin{align} m_1 \ddot x_1(t) & = F_{1}(x_1,x_2)\\ m_2 \ddot x_2(t) & = F_{2}(x_1,x_2), \end{align}$$ oder zweidimensional, $$\begin{align} m_1 \ddot x_1(t) & = F_{x,1}(x_1,y_1,x_2,y_2)\\ m_1 \ddot y_1(t) & = F_{y,1}(x_1,y_1,x_2,y_2)\\ m_2 \ddot x_2(t) & = F_{x,2}(x_1,y_1,x_2,y_2)\\ m_2 \ddot y_2(t) & = F_{y,2}(x_1,y_1,x_2,y_2), \end{align}$$ oder drei, $$\begin{align} m_1 \ddot x_1(t) & = F_{x,1}(x_1,y_1,z_1,x_2,y_2,z_2)\\ m_1 \ddot y_1(t) & = F_{y,1}(x_1,y_1,z_1,x_2,y_2,z_2)\\ m_1 \ddot z_1(t) & = F_{z,1}(x_1,y_1,z_1,x_2,y_2,z_2)\\ m_2 \ddot x_2(t) & = F_{x,2}(x_1,y_1,z_1,x_2,y_2,z_2)\\ m_2 \ddot y_2(t) & = F_{y,2}(x_1,y_1,z_1,x_2,y_2,z_2)\\ m_2 \ddot z_2(t) & = F_{z,2}(x_1,y_1,z_1,x_2,y_2,z_2). \end{align}$$

Das Muster sollte ziemlich offensichtlich sein: Das Hinzufügen von räumlichen Dimensionen ist identisch mit dem Hinzufügen von Partikeln, und die klassische Mechanik ist bereits perfekt für den Umgang mit zusätzlichen Dimensionen gerüstet, so dass z. B. wenn Sie eine vierte räumliche Dimension hinzufügen, die Bewegungsgleichungen

$$\begin{align} m \ddot x(t) & = F_x(x,y,z,w)\\ m \ddot y(t) & = F_y(x,y,z,w)\\ m \ddot z(t) & = F_z(x,y,z,w)\\ m \ddot w(t) & = F_z(x,y,z,w) \end{align}$$ eine Form haben, die genau identisch mit der von zwei Teilchen in zwei Dimensionen ist.

Was bedeutet das für die Energie? Nun, nach dem Kernprinzip, dass

Dieselben Gleichungen haben dieselben Lösungen und dieselben Eigenschaften,

die Dynamik in vier räumlichen Dimensionen wird eine konservierte Energie haben, die genau analog zu der von zwei Teilchen in zwei Dimensionen ist,

$$E = \frac12 m_1 \dot x_1^2 + \frac12 m_1 \dot y_1^2 + \frac12 m_2 \dot x_2^2 + \frac12 m_2 \dot y_2^2 + V(x_1,y_1,x_2,y_2)$$ dh eine konservierte Energie der Form $$E = \frac12 m \dot x^2 + \frac12 m \dot y^2 + \frac12 m \dot z^2 + \frac12 m \dot w^2 + V(x,y,z,w)$$ wo$V(x,y,z,w)$ist eine potentielle Energie. Dies sollte deutlich machen, dass die physikalische Dimensionalität von Energie, $$[E] = [ML^2T^{-2}],$$ wird durch den Prozess nicht verändert - und seine Form aus der "normalen" klassischen Mechanik enthält bereits Effekte in beliebig vielen räumlichen Dimensionen.