In den meisten einführenden Quantenmechanikkursen werden wir in die Dirac-Notation eingeführt, das Konzept des „Zustands“ des Systems, das als abstrakter Vektor im damit verbundenen Hilbert-Raum dargestellt wird, und uns wird gesagt, dass Messungen physikalischer Größen die Aktion beinhalten eines hermiteschen Operators, der der jeweiligen Größe auf der Wellenfunktion zugeordnet ist. Dann wird uns gesagt, dass das Ergebnis der Messung einer der Eigenwerte des Operators ist usw.
Diese Messungen sollen sich jedoch auf physikalisch beobachtbare Größen beziehen. Wann immer also eine Messung in der klassischen Physik durchgeführt wird, muss sie zu einer physikalischen Größe mit Dimensionen führen (mit Dimensionen meine ich Länge, Energie usw.).
Wo genau kommt die Dimension der Messgröße ins Spiel, wenn es um QM geht? Zum Beispiel, wenn ich das sage ist ein Eigenzustand des Positionsoperators , dann wird die Aktion des Positionsoperators im Ket wie folgt geschrieben:
Wenn ist nur eine reine Zahl, wo kommt dann die Längendimension ins Bild? Wenn der Wert Es hat die Abmessungen der Länge, dann kann der Bediener mit einem Wellenvektor multipliziert mit einer Größe mit physikalischen Dimensionen arbeiten?
Außerdem sind Operatoren des Formulars , oder (die sich auf physikalische Größen mit unterschiedlichen Dimensionen beziehen; es werden keine Konstanten mit ihnen multipliziert) gültige Operatoren, und was ist die Begründung (für sie entweder vorhanden oder nicht vorhanden)?
Es gibt nichts Besonderes an der Behandlung von Dimensionsgrößen in der Quantenmechanik. In dem konkreten Beispiel des von Ihnen erwähnten Positionsoperators
die Nummer hat die Dimension der Länge, da dies eines der möglichen Ergebnisse einer Positionsmessung ist.
Die Addition von Operatoren ist nur sinnvoll, wenn die Operatoren die gleichen Einheiten haben. Zum Beispiel ist im Ladder-Operator-Ansatz für den harmonischen Quantenoszillator der Vernichtungsoperator definiert,
Der Faktor von stellt sicher, dass beide Operatoren die gleichen Einheiten haben. Ebenso der Ausdruck ist maßlich richtig, weil hat Einheiten des Drehimpulses. (Beachten Sie, dass wenn Sie natürliche Einheiten verwenden , dann , und du könntest genauso gut schreiben .)
Die Dimensionen eines Hilbert-Raums sind abzählbar, dh jeder Dimension kann eine ganze Zahl zugeordnet werden und somit sind alle Dimensionen eindeutig mit 1, 2, 3, ... referenziert. Ein Vektorraum, der ein Hilbert-Raum ist, hat einige zusätzliche Eigenschaften.......
Im Fall des Wasserstoffatoms mussten wir drei Quantenzahlen n, l und m verwenden, um die Energieeigenfunktionen vollständig zu charakterisieren. Ohne Beweis charakterisieren die Indizes l und m die Eigenwerte des Quadrats des Drehimpulsoperators L 2 und der z-Komponente des Drehimpulsoperators Lz mit den Eigenwerten l(l + 1) ~2 bzw. m~.
Man kann zeigen, dass der Hamilton-Operator des Wasserstoffatoms, das Quadrat des Drehimpulsoperators und die z-Komponente des Drehimpulsoperators miteinander kommutieren und ein vollständiges System kommutierender Operatoren (CSCO) bilden, dessen Eigenwerte a einzigartige Charakterisierung der Energieeigenzustände des Wasserstoffatoms>
Das obige Zitat stammt von http://ocw.mit.edu/courses/electrical-engineering-and-computer-science/6-974-fundamentals-of-photonics-quantum-electronics-spring-2006/lecture-notes/chapter5 .pdf
Das obige Zitat diente nur dazu, eine Grundlage dafür zu schaffen, wie Dinge/Observables im Hilbert-Raum dargestellt werden.
Sie werfen das Problem der Beziehung zwischen den Einheiten und Dimensionen der gemessenen Observablen (wie sie in der klassischen Mechanik / Newtonschen Mechanik verfügbar sind) und ihrer Beziehung zu den Dimensionen von Vektorräumen auf
Ich denke, wenn der Formalismus der klassischen Mechanik zu kanonischen Darstellungen übergeht und die maßgeblichen Gleichungen beispielsweise Hamilton-Gleichungen sind, werden die normalen Koordinaten durch „verallgemeinerte Koordinaten“ und Energie ersetzt, und Impulse werden auch auf einer äquivalenten Grundlage genommen, was zu einem gewissen Vorteil bei der Lösung von Problemen führt.
Wenn man zur Quantenmechanik übergeht, werden die Dimensionen einer Observablen durch die Anzahl der Zustände definiert, in denen das System voraussichtlich verbleiben wird.
Wenn man beispielsweise Position, Impuls oder Energie misst, wird der erwartete Wert des Messergebnisses in seinen richtigen Einheiten und nicht in einer abstrakten Zahl angegeben. Angenommen, die Neutronenstrahlenergie wird in MeV gemessen, obwohl es sich um einen Erwartungswert des Hamilton-Operators in einem bestimmten Eigenzustand handelt. ähnlich der Grundzustand des Wasserstoffatoms ...... oder der Grundzustand von Deuteron ....
Harald
Harscha