Haben BHs und Kets Maße?

Dies ist eine sehr interessante Frage. Ich weiß nicht, ob es eine allgemeine und endgültige Antwort gibt, aber ich werde versuchen, einige Kommentare abzugeben. Ich entschuldige mich, wenn dies zu weitschweifigen Ergebnissen führt; Ich finde das heraus, während ich diese Antwort schreibe.

Operatoren haben Dimensionen, da ihre Eigenwerte physikalische Größen sind. Bei BHs und Kets wird es komplizierter. Erstens kann man nicht allgemein sagen, dass sie dimensionslos sind. Um zu sehen, warum, betrachten Sie einen Staat mit einer bestimmten Position$|x\rangle$. Seit$\langle x | x' \rangle = \delta(x-x')$und das Dirac-Delta hat die umgekehrte Dimension seines Arguments, das muss es sein$[ \langle x | ] \times [ | x \rangle ] = 1/L$. Eine ähnliche Beziehung gilt für Impuls-Eigenzustände. Natürlich gibt es höhere Befugnisse$L$in höheren Dimensionen.

Betrachten Sie jedoch einen Operator mit diskretem Spektrum, wie die Energie in einem Atom oder ähnliches. Dann ist die passende Gleichung$\langle m | n \rangle = \delta_{mn}$, und da dieses Delta dimensionslos ist, müssen BHs und Kets umgekehrte Dimensionen haben. Dies wird noch seltsamer, wenn man bedenkt, dass der Hamilton-Operator für ein Wasserstoffatom sowohl diskrete als auch kontinuierliche Eigenwerte hat, sodass die Beziehung zwischen den Dimensionen der Bras und der Kets je nach Energie (oder welcher physikalischen Größe auch immer) unterschiedlich ist.

Wir haben die Gleichung$\langle x | p \rangle = \frac1{\sqrt{2\pi\hbar}} \exp(ipx/\hbar)$. Ich dachte zuerst, dass dies kombiniert mit$[\langle x |] \times [| p \rangle ] = [\langle p |] \times [| x \rangle ]$würde es uns ermöglichen, die Abmessungen von zu finden$|x\rangle$(und alles andere), aber es stellt sich heraus, dass die Normalisierungsbedingungen von$|x\rangle$Und$|p\rangle$erzwingen die Dimensionen von$\langle x | p \rangle$richtig rauskommen. Das können wir finden$[|p\rangle] = \sqrt{T/M} [|x \rangle]$, aber wir kommen nicht weiter. Ähnliche Beziehungen gelten für die Eigenzustände Ihres bevorzugten Operators.

Jedes gegebene Ket ist eine lineare Kombination von Eigenkets, aber auch hier gibt es Feinheiten, je nachdem, ob das Spektrum diskret oder kontinuierlich ist. Angenommen, wir haben zwei Observablen$O_1$Und$O_2$mit diskretem Spektrum und Eigenzuständen$|n\rangle_1$Und$|n\rangle_2$. Jeder Staat$|\psi\rangle$kann als dimensionslose Linearkombination der Eigenzustände ausgedrückt werden (dimensionslos, weil da$\langle n | n \rangle = 1$, die Quadrate der Koeffizienten bilden Wahrscheinlichkeiten):$|\psi\rangle = \sum_n a_n |n\rangle_1 = \sum_n b_n |n\rangle_2$. Dies impliziert, dass die Eigenkets aller Observablen mit diskretem Spektrum die gleichen Dimensionen haben, und ebenso für die Eigenbras.

Schwieriger wird es bei Observablen mit kontinuierlichem Spektrum wie z$x$Und$p$, wegen der Integrationsmaßnahme. Wir haben$|\psi\rangle = \int f(x) |x\rangle\ dx = \int g(p) |p\rangle\ dp$.$\langle \psi | \psi \rangle = 1$impliziert$\int |f(x)|^2\ dx = 1$, so dass$[f] = 1/\sqrt{L}$und ebenfalls$[g] = \sqrt{T/ML}$. Dies sollte keine Überraschung sein, da$f$Und$g$sind Fourier-Transformierte voneinander, mit an$1/\sqrt{\hbar}$hineingeworfen. Daraus können wir ableiten$[|p\rangle] = \sqrt{T/M} [|x \rangle]$, die wir bereits kannten, und$\sqrt{L} [|x \rangle] = [|n \rangle]$.

Das Fazit scheint folgendes zu sein. Alle Eigenkets mit diskreten Eigenwerten müssen die gleichen Dimensionen haben, aber es sieht so aus, als wäre diese Dimension willkürlich (also könnten Sie sie als dimensionslos annehmen). Darüber hinaus haben normalisierte Zustände dieselbe Dimension. Eigenzustände mit kontinuierlichem Spektrum sind komplizierter; wenn wir ein Observable haben$A$(mit stetigen Eigenwerten) mit Eigenwerten$a$, dann können wir die Tatsache nutzen, dass$|\psi\rangle$kann entweder als Integral über Eigenzustände von geschrieben werden$A$oder als Summe über diskrete Eigenzustände, um das zu finden$\sqrt{[a]} [|a\rangle] = [|n\rangle]$, Wo$|n\rangle$ist ein diskretes Eigenket. Sobald Sie also die Abmessungen eines Kets festgelegt haben, legen Sie die Abmessungen aller anderen Kets fest.

Diese Frage macht Spaß, und ich bin mir nicht sicher, ob es wirklich eine richtige Antwort gibt, also wollte ich eine etwas andere Perspektive bieten.

Worum geht es bei Einheiten? Einheiten sagen uns, wie sich Mengen bei einer Skalenänderung verändern. Der Grund, warum wir eine Entfernung sagen$d$Längeneinheiten hat, ist diese dem Zahlenwert zugeordnet$d$wird um den Faktor 10 neu skaliert, wenn wir uns entscheiden, Millimeter statt Zentimeter zu verwenden.

Auf der anderen Seite haben wir die Quantenmechanik, wo Zustände durch Strahlen im Hilbert-Raum dargestellt werden. Mit anderen Worten, wir betrachten zwei Zustände,$|\chi\rangle$Und$|\phi\rangle$, physikalisch äquivalent zu sein, wenn sie verwandt sind durch$|\chi\rangle = \lambda |\phi \rangle$für eine komplexe Zahl$\lambda$.

Die Frage ist also, wenn wir unsere Längeneinheit ändern, um welchen Faktor sollten wir unseren Zustandsvektor neu skalieren?

Nun, normalerweise gehen wir mit der Äquivalenz verschiedener Zustände in einem Strahl um, indem wir uns dafür entscheiden, unsere Zustände auf irgendeine Weise zu normalisieren. Die Frage ist also, sollte sich die Normalisierung der Zustände unter einer Neuskalierung unserer Längenreferenz ändern? (oder Zeit oder Masse oder ...)

Für eine diskrete Menge von Eigenzuständen, die durch eine ganze Zahl gekennzeichnet sind$|n\rangle$, können wir vernünftigerweise wählen, die Zustände wie zu normalisieren$\langle m | n \rangle = \delta_{m,n}$, wobei die rechte Seite dimensionslos ist. Dann macht es keinen Sinn, dass die Normalisierungsbedingung mit der Länge skaliert.

Bei kontinuierlichen Eigenzuständen sind die Zustände nicht wirklich normierbar, sondern nur durch eine Delta-Funktion normierbar$\langle x | y \rangle = \delta(x-y)$. Um zu vermeiden, auf der rechten Seite eine beliebige Konstante mit Längeneinheiten einzuführen, ist es sinnvoller, unsere Zustände maßstäblich mit Dimensionen von zu normieren$L^{-1/2}$.

Eine Möglichkeit, die Unterscheidung zwischen kontinuierlichen und diskreten Eigenzuständen zu interpretieren, besteht darin, Folgendes zu beachten.$|\langle n | \psi \rangle|^2$ist die Wahrscheinlichkeit zu beobachten, dass der Zustand einen Eigenwert hat$n$, während$|\langle x | \psi \rangle|^2$ist eine Wahrscheinlichkeitsdichte, bei der sich ein Teilchen befindet$x$.

Dieser Frage geht ein Artikel aus dem Jahr 2020 nach : „Haben BHs und Kets Maße?“ . Kurz gesagt, die Einheiten eines BHs oder Kets haben eine gewisse Freiheit, wie von einigen der anderen Antwortenden erwähnt. Eine nützliche Konvention ist eine, bei der die Einheiten von BH und Ket gleich sind. Wenn wir Zustände wo normalisiert haben

$$\langle\alpha\vert\alpha\rangle=1,$$ dann sind sowohl der BH als auch der Ket dimensionslos. Ihre Ergebnisse sind in Tabelle 1 aus dem Manuskript zusammengefasst:

Wenn wir jedoch eine kontinuierliche Basis haben:

$$\langle x\vert y\rangle=\delta(x-y),$$ dann implizieren die Einheiten der Delta-Funktion, dass die BHs und Kets Einheiten haben werden. Wenn wir die Argumente in dem Papier wiederholen, können wir diese wieder als dieselben annehmen. In der Positionsbasis ergibt dies sowohl die BH- als auch die Ket-Einheiten$1/\sqrt{L}$.

Wirklich gute Frage.

Messungen haben eine Einheit, aber in der Quantenmechanik ist eine Messung die "Bewertung" einer Observablen auf einen Zustand (oder einen Zustand auf einer Observablen) so etwas wie

$$\left\langle \psi | A | \psi \right\rangle ,\quad \psi\in\mathcal{H},\ A\in\mathcal{B}(\mathcal{H}) \ \text{self-adjoint}$$ A priori scheint es eine Willkür in der Wahl der Einheit für zu geben $|\psi\rangle$Und $A$aber normalerweise ist die Messung eine konvexe Kombination der Eigenwerte von $A$(oder ein Integral einer Wahrscheinlichkeitsdichte über das Spektrum), so dass die Eigenwerte wirklich die Einheit der Observablen haben (Länge ist die Observable die Position, Masse mal Geschwindigkeit, wenn es die Impulsobservable ist)

Wenn$\left\lVert \psi\right\rVert^2$hat die Interpretation der Dichte der Anwesenheitswahrscheinlichkeit, es hat eine Einheit$\frac{1}{Volume}$(oder Länge in 1 Dimension), die die storniert$dx$der Integration (wie Sie in Ihrer ersten Gleichung geschrieben haben). Also wenn$|\psi\rangle$hat dann keine Dimension$|x\rangle$hat in der Tat Dimensionen$\frac{1}{\sqrt{L}}$(L-Länge).

OOOhhhh, große mögliche Verwirrung aus der Quantenfeldtheorie (und auch der Fall bei der zweiten Quantisierung der Schrödinger-Gl. ), wenn man die Wirkung als Funktion der Felder schreibt, dann haben diese Dimensionen, aber sie sind Operatoren und spielen eine Rolle dem Beobachtbaren ähnlicher$A$eher kein Staat.