Merkwürdige Beziehung zwischen der Abhängigkeit in ℏ von Planck-Einheiten und Einheitendimensionen

Beachten Sie, dass Sie in den fünf entsprechenden Einheiten messen$L,T,M,Q,Θ$.

Wählen Sie eine Einheit, sagen wir Zeit$T$. Dann erstmal

$[c]=L T^{−1},$

übersetzt dann Länge in Zeit

$[G]=M^{−1} L^3 T^{−2}=TM^{-1},$

übersetzt dann Masse in Zeit

$[1/ε_0]=Q^{−2}L^3 M T^{−2}=(TQ^{-1})^2 ,$

übersetzt Ladung in Zeit

$[k_B]=Θ^{−1}L^2 M T^{−2}=TΘ^{−1}$

übersetzt Temperatur in Zeit, und dann

$[\hbar]=L^2 M T^{−1}=T^2$

ist die einzige mit nicht verschwindendem Exponenten. Der Punkt ist, dass Sie nicht "$L^2 M$" aus der Leistungskonstante als Einheit, das ist also die Größe, die übrig bleibt.

Nach dem Eliminierungsprozess sind die Einheiten Vielfache von

$[\sqrt{\hbar}]=T.$

Da Sie die Dimensionsanalyse nicht mögen, versuche ich einen etwas anderen (aber letztendlich gleichwertigen) Ansatz, indem ich versuche, die Planck-Einheiten mit physikalischen Größen in Beziehung zu setzen.

Die Planck-Masse ist die Masse des kleinstmöglichen Schwarzen Lochs. Es ist auch eine Energie, weil$c=1$. Die Planck-Länge ist die Größe eines solchen Schwarzen Lochs und die Planck-Zeit ist die Lichtlaufzeit über eine Planck-Länge. Da die Größe eines Schwarzen Lochs proportional zu seiner Masse ist, sind alle drei Größen proportional zueinander. Weiterhin können die Proportionalitätskonstanten nicht einbezogen werden$\hbar$da die Beziehungen zwischen ihnen im Wesentlichen klassisch sind (die Größe von Schwarzen Löchern, die Lichtgeschwindigkeit). Also skalieren diese drei auf die gleiche Weise in Bezug auf$\hbar$.

Jetzt ist die Temperatur eine Energie und die einzige Energie in der Umgebung ist die Planck-Masse, also haben Sie wieder die Verbindung. Sie können sich das als die Temperatur vorstellen, bei der Plancksche Schwarze Löcher im Überfluss thermisch erzeugt werden, also ist es eine Art Maximaltemperatur, die ein vernünftiges System haben könnte.

Übrigens ist die Hawking-Temperatur eines Schwarzen Lochs proportional dazu$\hbar$da es sich um einen quantenmechanischen Effekt handelt, der aber auch umgekehrt proportional zur Masse ist, und da die Plank-Masse$\sim\sqrt\hbar$, die Nettoskalierung für die Temperatur eines Planckschen Schwarzen Lochs ist$\sim\sqrt\hbar$das gleiche wie die Planck-Masse. Wenn die Planck-Temperatur auf diese Weise definiert ist, finden Sie dies möglicherweise weniger als zufriedenstellend, da ich die Skalierung der Planck-Masse früher nicht wirklich festgelegt habe, nur dass sie genauso skaliert wie die anderen Größen.

Bleibt die Planck-Anklage. Dies ist die maximal zulässige Ladung für ein geladenes Plancksches Schwarzes Loch (ein extremales Schwarzes Loch). Die Ladung eines extremalen Schwarzen Lochs ist proportional zu seiner Masse (ich habe keine Ahnung, warum), also skaliert dies wieder auf die gleiche Weise. Sie können dieses Ergebnis anhand der Metrik eines geladenen Schwarzen Lochs sehen, aber ich kenne keinen intuitiven Grund. Vielleicht kann uns beide jemand anderes in dieser Angelegenheit aufklären.

Große Einschränkung : Nichts davon berücksichtigt Dinge der Quantengravitation, die in dieser Größenordnung sicherlich dominieren. Das ist ein riesiger Haufen Handwinken, aber abgesehen von der Dimensionsanalyse kann ich Ihnen das geben.