Warum sind Feinstrukturenergien ∝α4∝α4 \propto \alpha^4 ?

Eine Möglichkeit besteht darin, zu sehen, wie die relativistische Energie skaliert.

Im Bohr-Modell hängt die Feinstrukturenergie mit der (Grundzustands-)Geschwindigkeit zusammen durch:

$$\alpha=\frac{v}{c}$$ In der Relativitätstheorie ist die Energie eines Teilchens gegeben durch: $$E=\frac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$ Erweitern Sie dies in Bezug auf $v/c$wir bekommen: $$E= mc^2 \left( 1+\frac{v^2}{2c^2}+\frac{3v^4}{8c^4}+...\right)$$ Der erste Term ist hier die Ruheenergie, der zweite ist die klassische Energie, die da proportional ist $v^2$wir würden die Bruttoenergie des Atoms erwarten $\propto \alpha^2$. Terme höherer Ordnung beziehen sich auf relativistische Korrekturen, die bekannteste war $\frac{v^4}{c^4 }$und daher erwarten wir, dass die relativistischen Korrekturen in der Größenordnung von liegen $\alpha^4$.