Warum kommen "relativistische Effekte" ins Spiel, wenn es um superschwere Atome geht?

Als die Quantenmechanik zunächst entwickelt wurde, geschah dies ohne Berücksichtigung von Einsteins spezieller Relativitätstheorie. Das bedeutete, dass die chemischen Eigenschaften der Elemente aus einer rein quantenmechanischen Beschreibung, dh durch Lösung der Schrödinger-Gleichung, verstanden wurden .

Die genaueren Modelle nach dieser Zeit, die die spezielle Relativitätstheorie verwenden, erwiesen sich als konsistenter mit dem Experiment als im Vergleich zu denen, die ohne spezielle Relativitätstheorie verwendet wurden.

Wenn sie also „relativistische Effekte“ zitieren, beziehen sie sich auf chemische Eigenschaften von Elementen, die mit der speziellen Relativitätstheorie bestimmt wurden.

Liegt es daran, dass sich die Elektronen aufgrund größerer Umlaufbahnen mit höheren Geschwindigkeiten fortbewegen müssen?

Änderungen der chemischen Eigenschaften von Elementen aufgrund relativistischer Effekte sind für die schwereren Elemente im Periodensystem ausgeprägter, da in diesen Elementen Elektronengeschwindigkeiten relativistischer Korrekturen würdig sind. Diese Korrekturen zeigen Eigenschaften, die eher mit der Realität übereinstimmen als mit denen, bei denen eine nicht-relativistische Behandlung erfolgt.

Ein sehr gutes Beispiel hierfür wäre die Betrachtung der Farbe des Elements Gold , Au.

Der Physiker Arnold Sommerfeld hat berechnet, dass für ein Elektron in einem Wasserstoffatom seine Geschwindigkeit gegeben ist durch

$$v \approx (Zc)\alpha$$ Wo$Z$ist die Ordnungszahl,$c$ist die Lichtgeschwindigkeit, und $$\alpha\approx\frac{1}{137}$$ ist eine (dimensionslose) Zahl, die als Feinstrukturkonstante oder Sommerfeld-Konstante bezeichnet wird. Für Au, da$Z= 79$, würden sich seine Außenhüllenelektronen bewegen$^1$bei etwa$0.58c$. Dies bedeutet, dass relativistische Effekte für Gold ziemlich auffällig sein werden$^2$, und diese Effekte tragen tatsächlich zur Farbe des Goldes bei .

Interessanterweise bemerken wir auch aus der obigen Gleichung, dass wenn$Z\gt 137$Dann$v\gt c$was eines der Postulate der speziellen Relativitätstheorie verletzen würde, nämlich dass kein Objekt eine größere Geschwindigkeit als die Lichtgeschwindigkeit haben kann. Aber es ist auch bekannt, dass kein Element eine Ordnungszahl haben kann$Z\gt 137$(Was passieren würde, ist, dass bei einem so starken elektrischen Feld aufgrund des Kerns genügend Energie für die Paarbildung vorhanden ist$e^++e^-$der das Feld löscht).

$^1$Elektronen "bewegen" sich nicht um einen Kern, sondern sind stattdessen Wahrscheinlichkeitswolken, die den Kern umgeben. "Wahrscheinlichste Abstände von Elektronen" wäre also ein besserer Begriff.

$^2$Am Beispiel des Elements Gold, das eine Elektronenkonfiguration hat

$$\bf \small 1s^2 \ 2s^2\ 2p^6\ 3s^2\ 3p^6\ 4s^2\ 3d^{10}\ 4p^6\ 5s^2\ 4d^{10}\ 5p^6\ 6s^1\ 4f^{14}\ 5d^{10}$$ relativistische Affekte werden die erhöhen$\bf \small 5d$Bahnabstand vom Kern, und auch die verringern$\bf \small 6s$Bahnabstand vom Kern.

Das ist also kein Zufall, sondern eher grundlegend. Mit der Heisenbergschen Unschärferelation:

$$\sigma_p\sigma_x\ge \frac{\hbar}2$$

wenn ein Teilchen auf einen Raum beschränkt ist, der kleiner ist als:

$$\Delta x = \frac 1 2 \left(\frac{\hbar}{mc}\right)$$

dann reicht die Energieunsicherheit aus, um ein Teilchen-Antiteilchen-Paar zu erzeugen. Das ist "voll relativistisch". Bei der Hälfte dieser Energie können wir sagen "relativistische Effekte sind wichtig". Das ist, wenn die Beschränkung ist:

$$\Delta x = \frac{\hbar}{mc} = \bar{\lambda}_c$$

Dies ist die reduzierte Compton-Wellenlänge des Teilchens. Sie ist eine durch Naturkonstanten skalierte Funktion der (inversen) Masse.

Da die Protonenmasse so viel größer ist als die Elektronenmasse, können wir das wasserstoffähnliche Atom so diskutieren, als ob es im Grunde die reduzierte Masse wäre$m_e$. Damit ist die Schrödinger-Gleichung eine Eigenwertgleichung, die die kinetische Energie und die potentielle Energie mit Bindung in Beziehung setzt:

$$V(r) = \frac {Ze^2} {4\pi\epsilon_0}\times \frac 1 r$$

die in Bezug auf die dimensionslose Feinstrukturkonstante umgeschrieben werden kann,

$$\alpha =\frac 1{4\pi\epsilon_0}\frac{e^2}{\hbar c}\approx \frac 1{137}$$

als

$$V(r) = Z\frac{\hbar c}r = \bar{\lambda}_cmc^2\frac Z r$$

Die radiale Koordinate skaliert als$1/Z$, und tatsächlich hat die Grundzustandslösung (siehe: Bohr-Radius,$a_0$) Größe:

$$\Delta x= \frac{a_0}Z = \frac{\bar{\lambda}_c}{Z\alpha}$$

Die Bedingung, dass die Dinge relativistisch werden, ist also folgende$Z\alpha$auf etwas oder jemanden zukommen$1$, oder in superschweren Kernen.

Bei$Z=137$, Relativitätstheorie schlagen "Funken des Vakuums" vor. Das heißt, das elektrische Feld in der Nähe des Kerns ist so stark, dass genug Energie vorhanden ist, um ein Elektron-Positron-Paar zu erzeugen, das das Feld löscht.

Das ist völlig relativistisch. Relativistische Effekte werden schon bei deutlich kleineren wichtig$Z$als die. Als ganz allgemeine Faustregel sollten sie immer ab etwa der Hälfte der absoluten theoretischen Grenze betrachtet werden, also z$Z\gtrsim 70$. Siehe das Beispiel von Au ($Z=79$) in einer anderen Antwort auf genau diese Frage von @josephh, warum die relativistische Korrektur erforderlich ist, um die Farbe des Goldes zu erklären.

Die Wikipedia-Seite für Copernicium hat einen Hyperlink, der beschreibt, was "relativistische Effekte" in diesem Zusammenhang bedeutet: relativistische Quantenchemie .

Diese Effekte kommen tatsächlich lange vor den in der Frage beschriebenen superschweren synthetischen Elementen ins Spiel.

Zwei charakteristische Phänomene, die durch die relativistische Quantenchemie erklärt werden können, sind, warum Gold seine charakteristische gelbliche Farbe hat (anstatt wie andere Metalle gräulich zu sein) und warum Blei, aber nicht Zinn, zum Bau von Autobatterien verwendet werden kann.

Was sind also diese relativistischen Effekte und warum wirken sie nur in superschweren Kernen?

Das ist falsch. Relativistische Effekte wirken sich auch auf leichte Atome aus, und tatsächlich auf jedes Teilchen im Universum hängt alles von der Auflösung Ihrer Messungen ab. Es ist nur so, dass die Effekte bei schwereren Atomen stärker ausgeprägt sind, weil höhere Bindungsenergien höhere "Geschwindigkeiten" implizieren.

Für Atome werden normalerweise zwei relativistische Haupteffekte berücksichtigt: die relativistische Korrektur der kinetischen Energie und die Spin-Bahn-Kopplung, die Sie a priori durch Berechnung mit der Dirac-Gleichung anstelle der Schrödinger-Gleichung erhalten können.

Beispielsweise hat das Wasserstoffatom eine nicht korrigierte Grundzustandsenergie von$-13.60569$eV, und die relativistische Korrektur aufgrund der kinetischen Energie ist von Ordnung$-9 \times 10^{-4}$eV.