Sehen Sie, Dr. Zaslavsky hat vollkommen Recht. Aber. Nachdem der große Mathematiker Jean Leray einmal gebeten worden war, über Maslovs Arbeit an asymptotischen Methoden nachzudenken, um die Lösungen partieller Differentialgleichungen zu approximieren, die Verallgemeinerungen der WKB-Methode waren, beschloss er in den 70er Jahren, ein ganzes Buch mit dem Titel Lagrangeian Analysis and Quantum zu schreiben Mechanik, beachten Sie, dass er der „Lagrange-Analyse“ seine eigene besondere Bedeutung beimisst, MIT Press, siehe die schöne Zusammenfassung mit dem Titel „Die Bedeutung von Maslovs asymptotischer Methode: Die Notwendigkeit der Planck-Konstante in der Mathematik“.

Dies ist keine Ableitung der Größe der Planckschen Konstante aus den Maxwellschen Gleichungen, aber es ist eine tiefgreifende Motivation dafür, warum es eine endliche, kleine Konstante wie die von Planck geben sollte, unter dem Gesichtspunkt, dass die Kaustiken, die Sie in der geometrischen Optik erhalten, nicht physikalisch sein können. und doch sollte die geometrische Optik eine brauchbare Annäherung an die Wellenoptik sein. Aus dieser Sicht sollte es zumindest in der reinen Mathematik eine Konstante wie die Plancksche Konstante geben.

Es ist jedoch sehr fortgeschritten: unzugänglich, es sei denn, Sie kennen bereits Fourier-Integraloperatoren in symplektischen Mannigfaltigkeiten, wie in Duistermaats Buch oder Guillemin und Sternberg, Symplectic Techniques in Physics. Maslovs ursprüngliches Buch ist, obwohl nicht streng, sehr aufschlussreich und zugänglicher.

Für einen Physiker wären jedoch vielleicht nur die Grundlagen der Hamiltonschen Beziehung zwischen geometrischer Optik und Wellenoptik und die Grundlagen der WKB-Methode wichtiger.

Wenn Sie davon sprechen, den Wert der Planckschen Konstante abzuleiten, dann nein, das ist nicht möglich. Der Wert ergibt sich einfach aus unserem gewählten Einheitensystem.

Wenn es darum geht, die Tatsache abzuleiten, dass es überhaupt etwas Analoges zur Planckschen Konstante geben muss, dann lautet die Antwort meiner Meinung nach immer noch nein. Das ist zum Teil auch eine Folge unseres Einheitensystems, denn wenn man ganz natürliche Einheiten verwendet, hat das Plancksche Wirkungsquantum den Wert 1 und taucht daher in den Gleichungen gar nicht erst auf. Aber abgesehen davon war der ursprüngliche Kontext, in dem der Kontext vorgeschlagen wurde, die Quantisierung von Energie, nämlich dass die Energie einer EM-Welle in Einheiten von quantisiert wird$hf$. Dies könnte als grundlegende Annahme der Quantenmechanik angesehen werden. Die Plancksche Konstante ist Teil dieser Annahme, daher kann man sie nicht wirklich als abgeleitetes Ergebnis bezeichnen.

David Z. und Joseph F. Johnson geben meiner Meinung nach gute Beschreibungen, wie die Planck-Konstante nicht aus den Maxwell-Gleichungen abgeleitet werden kann (Joseph gibt jedoch andere Argumente, warum eine Planck-ähnliche Konstante existieren sollte).

Betrachtet man die Frage jedoch von einem etwas anderen Standpunkt aus: Entscheidet man sich dafür, dass Licht quantisiert ist, dann gibt es in der klassischen Optik ein Gedankenexperiment, das die Form des Planckschen Gesetzes motiviert , nämlich dass das Lichtenergiequantum proportional zu seinem sein muss Frequenz. Auch hier kann der Wert der Proportionalitätskonstante nicht aus den Maxwell-Gleichungen abgeleitet werden, aber ich finde das Folgende insofern interessant, als es die Maxwell-Gleichungen zusammen mit der speziellen Relativitätstheorie sind, die zeigen, dass das Quantisierungsgesetz eine bestimmte Form haben muss.

In unserem Gedankenexperiment geht es um Licht in einem perfekten optischen Resonator, der aus zwei perfekt parallelen Spiegeln besteht, zwischen denen ebene Wellen abprallen.

Wir "quetschen das Licht" jetzt, indem wir die Spiegel zusammenbringen: Wir beschleunigen den rechten sofort $v$Meter pro Sekunde auf die andere zu, die still gehalten wird. Einige Zeit später stoppen wir das Gedränge und bremsen wieder ab$v$ Meter pro Sekunde, um augenblicklich zu ruhen.

Physischer Überblick

Wenn man die Rechnung durcharbeitet, stellt man natürlich fest, dass sich die Arbeit, die beim Schieben der Spiegel verrichtet wird, als Energie im Resonatorfeld zeigt. Aber gleichzeitig behält der Impuls, der im Hohlraum springt, seine ursprüngliche funktionale Form – aber das Argument der funktionalen Form$k \,z - \omega \, t$wird vergrößert, so dass die konstante Impulsform geschrumpft wird, um perfekt in die schrumpfende Kavität zu passen. Dies ist eine Doppler-Blauverschiebung in einer anderen Form – die Fourier-Darstellung (der kovariante Wellenzahlraum) wird einfach gleichmäßig erweitert, und der Skalierungsfaktor ist derselbe Skalierungsfaktor, der auf die Energie des Felds angewendet wird. Alternativ könnten wir uns vorstellen, dem Licht Energie zu entziehen, indem wir den Hohlraum „adiabatisch“ ausdehnen und gegen die äußere Kraft arbeiten lassen. Dann würden wir natürlich eine Doppler-Rotverschiebung bekommen; wieder ist der Doppler-Skalierungsfaktor derselbe Skalenfaktor, der auf die schwindende Energie des Feldes angewendet wird. Das ist der zentrale Punkt:

Der Doppler-Verschiebungsfaktor ist derselbe wie der Energieskalierungsfaktor .

Angenommen, wir stellen uns die klassische Energie dieses Feldes so vor, dass sie aus einer beliebigen Anzahl von „Photonen“ (z $N$) alle in genau demselben Zustand zu Beginn des Experiments. Vermutlich, wenn wir langsam genug quetschen, damit die Adiabatizität gilt (siehe Wiki-Seite zum "Adiabatizitätssatz") , könnte man das Feld vernünftigerweise so interpretieren, dass es sich immer noch in einem befindet$N$-Photonenzahl Zustand danach. Woher: Wenn wir wirklich die gleiche Anzahl von Photonen annehmen können, jedes in demselben Zustand, der sich während des gesamten Experiments zu Beginn und am Ende ändert, dann:

Die Energie jedes Photons muss proportional zu seiner Frequenz sein .

Und alles scheint vollständig aus der Form der Lorentz-Transformation und den Maxwell-Gleichungen zu stammen.

Unter Berufung auf den Born-Fock-Adiabatensatz ist anzumerken, dass dieses Ergebnis unabhängig von der Spiegelgeschwindigkeit ist $v$. Wir können die Spiegel so langsam zusammenziehen, wie wir wollen, also ist diese Idee zumindest plausibel. Natürlich gibt es hier einen Zirkelschluss – man muss Quantenzustände richtig definieren, um sinnvoll über Adiabatizität zu sprechen, und davor muss man das Planck-Ergebnis annehmen – oder ein anderes Postulat, um eine zweite quantisierte Theorie zu entwickeln, um die Idee zu machen eines$N$-Photonenzahl Zustand rigoros; Selbst wenn man das getan hat, muss ich zugeben, dass ich nicht einmal sehe, wie ich eine zweite quantisierte Beschreibung eines Hohlraums mit einem beweglichen Spiegel schreiben soll, vielleicht ist das eine neue Frage. Aber wenn man sich vorstellt, in die Zeit von Planck zurückzugehen, könnte man sich vorstellen, dass ein solches Gedankenexperiment als Motivation empfunden wurde$E = h \nu$. Die Idee der zweiten Quantisierung des elektromagnetischen Feldes nahm erst Gestalt an, als Dirac 26 Jahre nachdem Planck sein Gesetz im Jahr 1900 vorgeschlagen hatte, daran dachte. Also musste die Physik vor Diracs Ideen in Begriffen wie dem obigen Gedankenexperiment denken unsere im Nachhinein erleuchteten Standpunkte, um die Frage zu stellen. Vielleicht kam tatsächlich irgendein Arbeiter des frühen zwanzigsten Jahrhunderts auf dieses Gedankenexperiment.

Ein paar Details

Hier sind einige weitere Details in meinem Gedankenexperiment. Die Berechnungen sind einfach, aber kompliziert.

Zunächst betrachten wir eine eindimensionale Streuung einer elektromagnetischen Welle an einem perfekten Reflektor in der Ebene $z = 0$. Links vom Reflektor lassen sich die Maxwellschen Gleichungen durch eindimensionale ebene Wellen der Form erfüllen:

wo$\mathbf{E}$und$\mathbf{B}$sind jeweils das elektrische Feld und die magnetische Induktion,$f$jede beliebige Impulsform,$c$die Freiraum-Lichtgeschwindigkeit,$\mathbf{J}_s$Oberflächenstrom (in Ampere pro Meter) im perfekten Reflektor,$\mathbf{F}_s$Kraft pro Flächeneinheit auf den Leiter und$\mathcal{U}$die Heaviside Step-Funktion. Die Kraft wird am einfachsten nach der Methode der virtuellen Arbeit berechnet; Um die Berechnung aus der Lorentzkraftformel zu verstehen, muss man die Streuung von einem Metall mit endlicher Leitfähigkeit berechnen$\sigma$Integrieren Sie wie in Methode 3 meiner Antwort hier die Körperkraftdichte$\mathbf{J} \wedge \mathbf{B}$ und nehmen Sie dann die Grenze als $\sigma \rightarrow \infty$, die Hauttiefe $\delta \rightarrow 0$und die Körperstromdichte wird somit zu einem Oberflächenstrom. Dieses Ergebnis unterscheidet sich um den Faktor zwei von dem "unbeschwerten" Ergebnis$\mathbf{J}_s \wedge \mathbf{B}$erhalten durch Anwendung der Lorentz-Kraftformel ohne Rücksicht auf den Begrenzungsprozess, der eine perfekte Leitung und Stromstärke definiert. Stillschweigend wurde angenommen, dass die Leitfähigkeit des Flugzeugs$\sigma$ erfüllt $\sigma >> \omega_{max} \epsilon$ wo $\omega_{max}$ ist die höchste Frequenz einer "signifikanten" Fourier-Komponente $f_0()$.

Nun wollen wir wissen, was passiert, wenn der perfekte Reflektor nach links verschoben wird, so dass seine Geschwindigkeit ist $-v \, \hat{\mathbf{z}}$. Das Ergebnis kann natürlich gefunden werden, indem die Felder berechnet werden, die von einem Beobachter gesehen werden, der sich gleichförmig mit Geschwindigkeit bewegt$v\,\hat{\mathbf{z}}$. Bei Durchführung der entsprechenden Lorentz-Transformation in Gleichung (1) findet man:

Diese Gleichungen sind aussagekräftiger, wenn wir sie so umschreiben $f_1\left(u\right) = \sqrt{\frac{c-v}{c + v}} \; f_0\left(\sqrt{\frac{c-v}{c + v}} \; u\right)$, dh wir skalieren Amplituden und Argumente neu, sodass:

und die reflektierten Wellen $\frac{c+v}{c-v}\,f_1\left(-\frac{c+v}{c-v} \left(z+ c\,t\right)\right)$ sind in Bezug auf die einfallenden Wellen angegeben $f_1\left(z- c\,t\right)$. Diese Form der Gleichungen liegt den gewohnten kausalen Zusammenhängen in einem solchen System zugrunde: der nach rechts laufenden Welle$f_1\left(z- c\,t\right)$ an jedem Punkt in der Region $z < 0$zukünftig auf den Reflektor treffen wird, so dass diese Welle bis zu diesem Zeitpunkt des Treffens vom Reflektor unbeeinflusst sein muss. Seine Form und Skalierung müssen daher einfach eine verzögerte Version dessen sein, was seine Quelle irgendwo weit draußen in der Region hinterlassen hat$z < 0$. Die verstreute Welle$\frac{c+v}{c-v}\,f_1\left(-\frac{c+v}{c-v} \left(z+ c\,t\right)\right)$den Reflektor bereits getroffen hat und von ihm dopplerverschoben wurde (beachten Sie, dass das Argument mit dem quadrierten Dopplerfaktor multipliziert wurde$\frac{c+v}{c-v}$, so dass die Wellenlängen um den Faktor geschrumpft werden$\frac{c-v}{c+v}$) und seine Intensität um den Faktor verstärkt$\left(\frac{c+v}{c-v}\right)^2$. Am Reflektor muss positive Arbeit geleistet werden, um ihn mit konstanter Geschwindigkeit gegen den photonischen Druck nach links zu schieben.

Beachten Sie, dass die üblichen elektromagnetischen Feldrandbedingungen nicht für bewegliche Grenzen gelten. Die Diskontinuität in den tangentialen elektrischen Feldkomponenten kann wie folgt verstanden werden: Wenn der Reflektor und sein Oberflächenstrom nach links fortschreiten, unterdrücken sie das Feld in seinem Kielwasser insgesamt. Wenn wir uns also eine dünne Schleife vorstellen, deren Ebene sowohl zum Reflektor als auch zur magnetischen Induktion normal und mit Breite ist$\Delta z$ in dem $z$ Richtung und Länge $\ell$ Entlang der Richtung des Magnetfeldes geht der magnetische Fluss durch diese Schleife ab $\left|\mathbf{B}\right| \ell \Delta z$ rechtzeitig $\Delta z / v$ wenn der Reflektor an der Schleife vorbeigeht, muss es also einen Unterschied geben $\left|\Delta \mathbf{E}\right|$zwischen den elektrischen Feldern entlang der langen Seiten der Schleife, dh $\left|\Delta \mathbf{E}\right| \ell = \left|\mathbf{B}\right| \ell v$ wie $\Delta z \rightarrow 0$, daher die Diskontinuität $2 \, v f(0) / (c-v)$im elektrischen Feld. Auch hier wird die Elektrodynamik dieser Diskontinuität besser verstanden, indem man die Berechnungen bei einer endlichen Leitfähigkeit durchführt (wodurch die Diskontinuität entfernt wird) und zur unendlichen Leitfähigkeitsgrenze übergeht.

Jetzt verschieben wir den Reflektor auf eine beliebige $z$-Position $a$:

transformieren Sie dann die funktionale Notation so, dass $f\left(t - \frac{z}{c}\right) = f_1\left(z - c\,t - a\right)$:

und stelle dir einen zweiten, stillen Reflektor vor $z = 0$um einen eindimensionalen Hohlraumresonator wie in der Zeichnung gezeigt zu betrachten. Der Hohlraumresonator "schrumpft" und das Licht darin wird "gequetscht". Randbedingungen, die denen in Gleichung (1) sehr ähnlich sind, gelten, was die "Schleifenbedingung" impliziert:

und die Intensität und Frequenz des Feldes wachsen beide exponentiell zusammen , dh variieren gleich$\left(\frac{c+v}{c-v}\right)^n$mit der Hohlraumumlaufzahl $n$.

Angenommen bei $t = 0$, ist die Funktionsform der nach rechts laufenden Hohlraumwelle $g_+(z), \;0\leq z \leq a$und dass es keine nach links laufende Welle gibt. Die nacheilende (ganz linke) Kante der Welle trifft auf den rechten Reflektor ( dh den, der an Position war ).$z = a$ zum Zeitpunkt $t = 0$) zum Zeitpunkt $t = a / (c + v)$. Ebenso wird die Vorderflanke der Welle in der Amplitude um einen Faktor verstärkt$(c+v)/(c-v)$ und trifft auf den linken Reflektor (at $z = 0$) etwas später$t = a / c$. Die Welle läuft also zu diesem Zeitpunkt nun ganz rückwärts (nach links), passt mit ihrer ganzen Länge noch in den verkürzten Hohlraum und hat immer noch die gleiche funktionelle Form, aber mit einem "gequetschten"$z$-Abhängigkeit; seine funktionale Form ist jetzt$\frac{c+v}{c-v} g_+\left(a - \frac{c+v}{c-v}\,z\right)$ Pro $0 \leq z \leq \frac{c-v}{c+v} a$, während die Länge des Hohlraums jetzt ist$\frac{c-v}{c} a$, dh länger als die Ausdehnung der Welle. Jetzt wiederholen wir die Argumentation für die Wellenstreuung vom linken Reflektor. Diesmal gibt es keine Dopplerverschiebung oder Amplitudenverstärkung, und die Zeit, die die Vorderkante der Welle benötigt, um vom linken zum rechten Reflektor zu laufen, ist$\frac{c-v}{c+v} \frac{a}{c}$, also genau die zeitliche Dauer der Welle und diese Dauer wiederum ist genau die Zeit bis zum Erreichen der nacheilenden Flanke der Welle$z = 0$. Also nach einer Gesamtzeit$t = 2\frac{a}{c + v}$ Die Welle ist wieder in ihre ursprüngliche Form zurückgekehrt, obwohl ihre Amplitude um einen Faktor verstärkt wurde $\frac{c+v}{c-v}$, seine funktionale Form ist jetzt $g_+(\frac{c+v}{c-v}\,z),\; 0\leq z \leq \frac{c-v}{c+v}\, a$, die Länge der Welle $\frac{c-v}{c+v}\, a$ damit er genau in seine neue Hohlraumlänge passt $a^\prime = \frac{c-v}{c+v}\, a$. Wir können die Analyse für eine rückwärts laufende Welle wiederholen$g_-(z), \;0\leq z \leq a$und nehmen an, dass es keine vorwärtslaufende Welle gibt. Das Ergebnis ist natürlich dasselbe: nach einer Umlaufzeit$t = 2\frac{a}{c + v}$, ist die Welle wieder eine vollständig rückwärts laufende Welle, ihre Amplitude wurde um den Faktor verstärkt $\frac{c-v}{c+v}$ und sein Argument wurde geschrumpft (blauverschoben), so dass es genau in den geschrumpften Hohlraum passt, der jetzt eine Länge hat $a^\prime = \frac{c-v}{c+v}\, a$. So beginnt der Hohlraum mit vor- und rückwärts laufenden Variationen$g_+(z),\; g_-(z)$ jeweils für $0\leq z \leq a$, definieren die folgenden Parameter $n^{th}$ Hohlraumrundfahrt:

somit wird das Licht innerhalb des Hohlraums unendlich blauverschoben und der Energie- und Druckbedarf dieses Prozesses steigt unbegrenzt an, wenn sich der Hohlraum der Länge Null nähert. Beachten Sie, dass analoge Ergebnisse für eine Reflektorgeschwindigkeit erhalten werden können$v\left(t\right)$das variiert mit der zeit. In diesem Fall die funktionalen Formen$g_+(z)$und$g_-(z)$werden im Allgemeinen ungleichmäßig gedehnt und geschrumpft, um die Variation der Geschwindigkeit innerhalb jeder Zirkulationsperiode zu berücksichtigen. Die Ergebnisse in Gleichung (7) werden durch effektive Durchschnittsdefinitionen ersetzt, aber die grundlegenden Ergebnisse, dass die Gesamtresonatorenergie und die mittlere Blauverschiebung beide umgekehrt proportional zur Resonatorlänge sind, sind dieselben und unabhängig von der detaillierten Zeitvariation. Unabhängig davon, wie man dorthin gelangt, hängen die Hohlraumenergie und die mittlere Blauverschiebung nur von der aktuellen Hohlraumlänge ab.

Maxwell nimmt nur an, dass ein Teilchen Ladung hat, nicht dass ein Elektron eine Frequenz hat, die von seiner Ruhemasse abhängt. Man kann also die Plancksche Konstante nicht aus Maxwell ableiten. de Broglie hat das behoben.