So erhalten Sie die Planck-Länge

Ich weiß, was der Planck-Länge entspricht.

  1. Die erste Frage ist, wie Sie die Formel erhalten

    ℓ P   =   ℏ G c 3
    das beschreibt die Planck-Länge?

  2. Die zweite Frage ist, wird jede Länge, die kürzer als die Planck-Länge ist, unzugänglich sein? Wenn ja, was steckt dahinter?

Hallo user2346! Für zukünftige Referenzen ziehen wir es vor, dass Sie jede einzelne Frage in einem separaten Beitrag stellen.

Antworten (5)

Der Ausdruck ( ℏ G / c 3 ) 1 / 2 ist das einzigartige Produkt der Kräfte von ℏ , G , c , drei universellste Dimensionskonstanten, die die Längeneinheit haben. Denn die Konstanten ℏ , G , c die fundamentalen Prozesse der Quantenmechanik, der Gravitation bzw. der speziellen Relativitätstheorie beschreiben, drückt die so erhaltene Längenskala die typische Längenskala von Prozessen aus, die von der relativistischen Quantengravitation abhängen.

Formel und Wert waren Max Planck schon vor über 100 Jahren bekannt, deshalb nennt man sie Planck-Einheiten.

Sofern es in unserer Raumzeit keine sehr großen oder seltsam verzerrten Extradimensionen gibt, ist die Planck-Länge die minimale Längenskala, der die übliche physikalische und geometrische Interpretation zugewiesen werden kann. (Und selbst wenn es Feinheiten gibt, die von großen oder verzerrten Extradimensionen kommen, ist die minimale Längenskala sinnvoll – die sich von unterscheiden könnte 10 − 35 Meter – kann aber immer noch als höherdimensionale Planck-Länge bezeichnet werden und wird mit analogen Formeln berechnet, die jedoch die entsprechende Newtonsche Konstante verwenden müssen, die für eine höherdimensionale Welt gilt.) Die besondere Rolle der Planck-Länge kann durch viele ausgedrückt werden verwandte Definitionen, zum Beispiel:

  • Die Planck-Länge ist der Radius des kleinsten Schwarzen Lochs, das (geringfügig) den Gesetzen der allgemeinen Relativitätstheorie gehorcht. Beachten Sie, dass, wenn der Radius des Schwarzen Lochs ist R = ( ℏ G / c 3 ) 1 / 2 , aus der die Masse des Schwarzen Lochs erhalten wird R = 2 G M / c 2 dh M = c 2 / G ⋅ ( ℏ G / c 3 ) 1 / 2 = ( ℏ c / G ) 1 / 2 das ist dasselbe wie die Compton-Wellenlänge λ = h / M c = h G / c 3 ( ℏ G / c 3 ) − 1 / 2 des gleichen Objekts, bis hin zu numerischen Faktoren wie z 2 und π . Die Zeit, die ein solches Schwarzes Loch braucht, um durch die Hawking-Strahlung zu verdampfen, ist ebenfalls gleich der Planck-Zeit, dh Planck-Länge dividiert durch die Lichtgeschwindigkeit. Kleinere (leichtere) Schwarze Löcher verhalten sich überhaupt nicht wie Schwarze Löcher; sie sind Elementarteilchen (und die kürzere Lebensdauer als die Planck-Zeit ist ein Zeichen dafür, dass man der allgemeinen Relativitätstheorie für solch winzig kleine Objekte nicht vertrauen kann). Größere Schwarze Löcher als die Planck-Länge verhalten sich zunehmend wie langlebige Schwarze Löcher, die wir aus der Astrophysik kennen.

  • Die Planck-Länge ist der Abstand, bei dem die Quantenunsicherheit des Abstands bis zu einem Koeffizienten der Ordnung eins in der Größenordnung von 100 Prozent liegt. Dies kann durch verschiedene Näherungsrechnungen aus der Quantenfeldtheorie errechnet werden – Erwartungswerte von ( δ x ) 2 aus Quantenfluktuationen des metrischen Tensors; Korrekturen höherer Ableitungen der Einstein-Hilbert-Aktion; nichtlokale Phänomene und so weiter.

Die ungewöhnlichen Korrekturen der Geometrie, einschließlich nichtlokaler Phänomene, werden bei Abständen, die formal kleiner als die Planck-Länge sind, so stark, dass es keinen Sinn macht, kürzere Abstände zu berücksichtigen. Dort würden die üblichen Regeln der Geometrie zusammenbrechen. Die Planck-Länge oder so ist auch die kürzeste Entfernungsskala, die von Beschleunigern untersucht werden kann, sogar im Prinzip. Wenn man am LHC die Energie der Protonen erhöhen und einen Collider mit einem Radius wählen würde, der mit dem des Universums vergleichbar ist, würde die Wellenlänge der Protonen umgekehrt proportional zur Energie der Protonen kürzer werden. Sobald jedoch die Schwerpunktsenergie der Protonen die Planck-Skala erreicht, beginnt man, die oben erwähnten "minimalen schwarzen Löcher" zu produzieren. Eine anschließende Erhöhung der Energie führt zu größeren Schwarzen Löchern, die eine schlechtere Auflösung haben, nicht eine bessere. Die Planck-Länge ist also die minimale Entfernung, die man sondieren kann.

Es ist wichtig zu erwähnen, dass wir über die interne Architektur von Partikeln und Objekten sprechen. Viele andere Größen mit Längeneinheiten können viel kürzer als die Planck-Länge sein. Zum Beispiel kann die Wellenlänge des Photons offensichtlich beliebig kurz sein: Jedes Photon kann immer verstärkt werden, wie die spezielle Relativitätstheorie garantiert, sodass seine Wellenlänge noch kürzer wird.

Über die Physik der Planck-Skala sind viele Dinge (Einsichten aus Tausenden von Artikeln einiger der weltbesten Physiker) bekannt, insbesondere einige qualitative Merkmale davon, ungeachtet der experimentellen Unzugänglichkeit dieses Bereichs.

Nach welcher etablierten, experimentell verifizierten Theorie kann man behaupten, dass "sobald die Schwerpunktsenergie der Protonen die Planck-Skala erreicht, man beginnt, die oben erwähnten "minimalen Schwarzen Löcher" zu produzieren"? Wo ist ein Beweis für die Behauptung, dass „die üblichen Regeln der Geometrie bei Entfernungen unter der Planck-Skala zusammenbrechen würden“? Wie kann man in Ermangelung einer konsistenten Theorie der Quantengravitation beweisen, dass "die Planck-Länge der Radius des kleinsten Schwarzen Lochs ist, das (geringfügig) den Gesetzen der allgemeinen Relativitätstheorie gehorcht"?
Lieber Arnold, nach welcher etablierten, experimentell verifizierten Theorie kann man behaupten, was ich getan habe? Die Theorie, nach der Sie suchen, ist als allgemeine Relativitätstheorie bekannt. Man kann beweisen, dass man bei einer ausreichenden Energiekonzentration in einem kleinen Volumen, wie dem von mir beschriebenen, unweigerlich Schwarze Löcher bildet. Dies ist seit den Singularitätssätzen nach Penrose und Hawking aus den 1970er Jahren bekannt. Auch für Radien größer als die Planck-Länge kann man zeigen, dass die Korrekturen an GR klein sind, so dass die Schlussfolgerung unverändert ist.
Man kann beweisen, dass Entfernungen, die kürzer als die Planck-Skala sind, den Gesetzen der Geometrie auf viele unabhängige Weisen nicht gehorchen, von der halbklassischen GR bis zu einzelnen vollwertigen konsistenten Beschreibungen der String/M-Theorie, von AdS/CFT bis zur Matrixtheorie.
Zu Ihrer Frage "Wie kann man in Ermangelung einer konsistenten Theorie von QG behaupten ...", gibt es zwei Punkte zu sagen. Erstens ist es nicht wahr, dass wir keine konsistente Theorie von QG haben. Wir wissen, dass wir seit fast 40 Jahren eine haben, die als Stringtheorie bekannt ist. Zweitens war es der eigentliche Punkt meiner Antwort, dass man QG nicht wirklich braucht, um diese Punkte anzusprechen. Es ist der eigentliche Punkt der Planck-Skala, dass man für Schwarze Löcher, die (viel) größer sind, Quanteneffekte ignorieren kann und die klassische GR eine gute Beschreibung wird.
Für generische Elementarobjekte, die viel (oder zumindest sichtbar) schwerer als die Planck-Masse sind, kann man also die klassische GR ohne QM verwenden, um mit großer Genauigkeit zu beschreiben, was vor sich geht. Im Gegensatz dazu kann man für Objekte, die viel (oder zumindest wesentlich) leichter als die Planck-Masse sind, QFT ohne Gravitation als hervorragende Näherung verwenden. Daher ist eine vollständig konsistente Theorie der QG – dh Stringtheorie – für das relativ enge Übergangsregime gerade in der Nähe der Planck-Skala wirklich erforderlich. Näherungen, die entweder Gravitation oder QM vernachlässigen, sind auf beiden Seiten gut.
Aber all Ihre Behauptungen über Zusammenbruch usw. beziehen sich nur auf dieses "relativ enge Übergangsregime gerade in der Nähe der Planck-Skala". Und dort ist nichts bekannt außer Spekulationen, die nicht durch Experimente gestützt werden.
Nein, dies ist nicht der Fall. In der Neuzeit ist jede physikalische Theorie – wie die klassische GR auf der einen Seite oder die nicht-gravitative QFT auf der anderen Seite – ein Wissensbestand, der uns einige ungefähre Gesetze bietet, die einige physikalische Systeme beschreiben; aber es ist auch eine Näherungstheorie, die ihre Grenzen kennt. Die klassische allgemeine Relativitätstheorie ermöglicht es uns, die Grenzen zu berechnen, an denen sie zusammenzubrechen beginnt, selbst wenn keine detaillierte Theorie der Quantengravitation vorliegt und die Skala in der Größenordnung der Planck-Skala liegt. Es ist beliebt, über Physik zu reden, aber Popularität bedeutet nicht, dass irgendetwas an Ihren Worten richtig ist
Bitte geben Sie eine Referenz an, die belegt, dass „die klassische allgemeine Relativitätstheorie es uns ermöglicht, die Grenzen zu berechnen, an denen sie beginnt zusammenzubrechen, selbst wenn keine detaillierte Theorie der Quantengravitation vorliegt und die Skala in der Größenordnung der Planck-Skala liegt.“
Versuchen Sie zB Seite 3 von Joseph Polchinskis "String Theory" oder das erste Kapitel eines anderen grundlegenden Lehrbuchs zu diesem Thema.
Ich wusste nicht, dass Sie die Stringtheorie für die klassische allgemeine Relativitätstheorie halten.
Auf Seite 3 wird offensichtlich keine Stringtheorie verwendet; Die Stringtheorie wird auf den verbleibenden über 1.000 Seiten der beiden Bände des Buches erklärt. Die ersten Seiten des Buches sind eine grundlegende Einführung in die Skalen, an denen die klassische allgemeine Relativitätstheorie zusammenbricht, weil sie Quantenkorrekturen sammelt (die mit feldtheoretischen Methoden nicht kontrollierbar sind, weil die Theorie nicht renormierbar wäre, was beweist, dass es neue Physik geben muss dieser Größenordnung, wie Polchinski argumentiert).
Lassen Sie mich nur erwähnen, dass diejenigen von uns, die sich tatsächlich mit dem Thema befasst haben – nach dem Äquivalent dieser 1.000 Seiten und vielleicht etwas früher – nicht nur wissen, dass die klassische GR in der Nähe der Planck-Skala, die man ab Seite 3 versteht, ungültig wird, sondern wir auch über ein funktionierendes Wissen der eigentlichen korrekten Physik verfügen, die es ersetzt. Ich verstehe die Logik nicht ganz, gegen meine Beweise zu „argumentieren“, die von jemandem organisiert wurden, der nicht nur zugibt, diese 1.000 Seiten nicht zu kennen – sondern der selbst in Bezug auf die „ersten drei Seiten“ der Einführungen in das Thema kühn unwissend zu sein scheint .
Planck-Länge klingt nach Astrologie, oder? @LubošMotl
Nein, es klingt nicht nach Astrologie (es klingt nach grundlegender und nachweisbarer Wissenschaft) und Ihre Frage hätte eher "nicht wahr" als "nicht wahr" enthalten sollen.
Etwas Kugelförmiges, das mit Lichtgeschwindigkeit kollabiert, wenn sein Radius nicht von Licht durchquert werden kann, bevor dieser Kollaps beginnt, ist etwas, das für mich ENDLICH erklärt, WAS der photoelektrische Effekt (beschrieben von Einstein 1905) mit General zu tun hat Relativitätstheorie (von ihm 1915 formuliert). Es klärt auch eine Frage auf, die die Elektronen in meinem Kopf seit einigen Jahren herumhüpfen lassen, warum die Wellenlänge des Lichts unendlich klein sein KANN, obwohl die Frequenz wahrnehmbarer Lichtwellen nicht unendlich kurz sein KANN. Die Trennung zwischen Raum und Zeit ist, wo sie divergieren!
Bitte listen Sie diese Tausende von Papieren auf.
IN der ersten Gleichung 2GM/C^2 = R, warum stimmt dann M=C^2/2G hier nicht? oder warum hast du es M=C^2/G geschrieben?
Lieber Vaibhav, wo es irgendwo einen Faktor von 1/2 gibt, hängt von detaillierten Berechnungen in einer sehr spezifischen Theorie ab und diese wird in einer viel allgemeineren Diskussion über den Begriff der Planck-Länge nicht spezifiziert. Bei Verwendung als Konstante ist die Planck-Konstante als Produkt der Grundkonstanten definiert, das keinen Faktor von 2 oder 1/2 enthält. Es ist eine Definition einer Konstante. Eine einfache. Manchmal wird die reduzierte Planck-Länge verwendet, die sich von einem Faktor mit 4pi oder 8pi unterscheidet.

Versuchen Sie, unter Verwendung grundlegender physikalischer Konstanten einen Ausdruck zu konstruieren, der eine Längeneinheit hat.
Unter Verwendung der Dimensionsanalyse haben wir also:

  • G = m 3 ⋅ k g − 1 ⋅ s − 2
  • c = m ⋅ s − 1
  • und ℏ = J ⋅ s = k g ⋅ m 2 ⋅ s − 1 .

Dann sollen wir Länge konstruieren l = m auf die folgende Weise:

l = G a c b ℏ d = m 3 a + b + d ⋅ k g − a + d ⋅ s − 2 a − b − d ≡ m
Es entspricht dem folgenden Gleichungssystem
{ 3 a + b + 2 d = 1 − a + d = 0 − 2 a − b − d = 0
Und die einzige Lösung ist genau das, was wir jetzt Plancksche Länge nennen .

Die Formel wird durch Dimensionsanalyse erhalten. Bis auf einen konstanten dimensionslosen Faktor ist der gegebene Ausdruck der einzige von Dimensionslänge, den man aus den Naturkonstanten machen kann ℏ , c , und G .

Diskussionen über die physikalische Bedeutung der Planck-Länge haben keine experimentelle (und zu wenig theoretische) Stütze, sodass Ihre zweite Frage nicht (außer spekulativ) beantwortet werden kann.

Dies ist eine Antwort auf den Teil der Frage, warum kleinere Skalen nicht zugänglich sind.

Teilchenphysiker messen Dinge in sehr kleinen Entfernungen. Dazu müssen sie Teilchen mit Wellenlängen verwenden, die mit der Entfernungsskala vergleichbar sind, die sie zu untersuchen versuchen, und sie müssen diese Teilchen mit dem Objekt kollidieren lassen, das sie zu untersuchen versuchen.

Allerdings geht etwas schief, wenn Sie weiterhin versuchen, die Wellenlänge zu machen λ kürzer und kürzer. Obwohl die Beschleunigung eines Teilchens auf ultrarelativistische Geschwindigkeit es nicht in ein Schwarzes Loch schafft (schließlich ruht es in seinem eigenen Rahmen), kann die Kollision mit dem untersuchten Objekt ein Schwarzes Loch erzeugen, und das wird es, grob gesagt, tun , wenn die Energie E ist äquivalent zu einem m c 2 wofür der Schwarzschild-Radius 2 G m / c 2 ist kleiner als die λ ∼ h c / E . (Dies ist nicht streng, da es wirklich auf den Spannungs-Energie-Tensor ankommt, nicht auf die Energie, aber es ist gut genug für eine Schätzung der Größenordnung.) Auflösen nach λ , erhalten wir etwas in der Größenordnung der Planck-Länge.

Wenn Sie die Wellenlänge kürzer als die Planck-Länge machen, machen Sie die Energie höher. Die Kollision erzeugt dann ein größeres Schwarzes Loch, was bedeutet, dass Sie nicht kleinere Skalen untersuchen, sondern größere.

Ich muss Lubos zustimmen (mit Ausnahme der Ausnahme, die er in Bezug auf Photonen macht, da SR das falsche Werkzeug ist und GR Photonen auch nicht hervorheben lässt), dass es theoretisch sehr gut belegt ist, dass die Planck-Skala einen Punkt festlegt, über den hinaus neue Physik passieren sollte und die Stringtheorie gibt eine mögliche Form an, die diese neue Physik annehmen könnte.

Abgesehen von den Argumenten von Blackhole kann man Strings außer Blackhole-Argumenten vergessen und sich auf das moderne RG-Framework berufen, um zu behaupten, dass jede renormierbare, aber nicht asymptotikfreie Feldtheorie bei niedrigen Energien (wie das Standardmodell) die Existenz einer UV-Skala signalisiert, über die eine neue Feldtheorie hinausgehen muss ersetzt werden. Die Plancksche Skala ist die einzige uns bekannte relevante Skala, die möglicherweise ein Kandidat für ein Gravitations-qft sein könnte. Sehen Sie sich Delamottes "Ein Hinweis auf Renormalisierung" an, um eine klare Beschreibung dieses Punktes zu erhalten.

Mir ist klar, dass, wenn es in der Theorie nur eine endliche Anzahl von (Längen-) Skalen gibt, man erwarten kann, dass in feldtheoretischen Überlegungen zu dieser Einheit etwas passiert (sagen wir hier die Planck-Skala ℓ P ). Doch was macht ℓ P grundlegender als 2 ℓ P , wie kann man ohne eine gute Theorie auf dieser Ebene schlussfolgern, dass ein bestimmter numerischer Wert irgendeine Bedeutung hat?
Nur aufgrund allgemeiner Überlegungen muss der Übergang meiner Meinung nach nicht einmal scharf sein (er wird nur dann scharf sein, wenn eine gewisse Symmetrie spontan gebrochen wird und ich nicht weiß, ob dies für eine renormierbare Niedrigenergie der Fall sein muss oder nicht Theorie erscheinen). Ich stimme Ihnen also zu, nichts ist so besonders an Plancks Länge, bevor Sie ein bestimmtes konsistentes QG in Betracht ziehen.
So erhalten Sie die Planck-Länge
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