Die kurze Antwort ist, dass es möglich ist, wenn$M = 1 = M^{-1}$. So gesehen sind alle Größen in Planck-Einheiten reine Zahlen.

---

Die längere Antwort lautet, dass es zwei unterschiedliche Sichtweisen auf natürliche Einheitensysteme gibt.

Natürliche Einheitensysteme in Bezug auf Standardeinheiten

Eine davon, und vielleicht die leichter zu verstehende, ist, dass Sie immer noch in einem "traditionellen" Einheitensystem arbeiten, in dem es unterschiedliche Einheiten für alle Größen gibt, aber die Einheiten so gewählt werden, dass die numerischen Werte bestimmter Konstanten gleich sind auf 1. Zum Beispiel, wenn Sie einstellen möchten$c = 1$, Sie setzen nicht buchstäblich$c = 1$, Sie setzen tatsächlich$c = 1\,\frac{\text{length unit}}{\text{time unit}}$. Länge und Zeit haben in dieser Interpretation eigentlich nicht die gleichen Einheiten; sie sind äquivalent bis zu einer Multiplikation mit Faktoren von$c$. Mit anderen Worten, es versteht sich, dass Sie zum Umwandeln von beispielsweise einer Zeiteinheit in eine Längeneinheit multiplizieren$c$, und das bleibt implizit.

Dazu müssen Sie natürlich eine Längen- und Zeiteinheit wählen, die mit dieser Gleichung kompatibel sind. Sie könnten also nicht Meter als Längeneinheit und Sekunden als Zeiteinheit verwenden, aber Sie könnten Lichtsekunden bzw. Sekunden verwenden.

Wenn Sie mehrere Konstanten auf den numerischen Wert 1 setzen möchten, schränkt dies Ihre mögliche Auswahl an Einheiten noch weiter ein. Angenommen, Sie setzen ein$c$Und$G$um numerische Werte von 1 zu haben. Das bedeutet, dass Ihre Einheiten beide Bedingungen erfüllen müssen

$$\begin{align} c &= \frac{\text{length unit}}{\text{time unit}} = \frac{\ell_G}{t_G} & G &= \frac{(\text{length unit})^3}{(\text{mass unit})(\text{time unit})^2} = \frac{\ell_G^3}{m_Gt_G^2} \end{align}$$

wo ich eingeführt habe$\ell_G$,$t_G$, Und$m_G$stehen jeweils für die Längen-, Zeit- und Masseneinheiten in diesem System. Sie können diese Gleichungen dann umkehren, um sie aufzulösen$\ell_G$,$t_G$, Und$m_G$bezüglich$c$Und$G$- aber wie Sie wahrscheinlich sehen können, ist das Gleichungssystem unterbestimmt. Es gibt Ihnen immer noch die Freiheit, eine Einheit als Teil Ihres Einheitensystems auszuwählen, z

$$\text{kilogram} = \text{mass unit} = m_G$$

Nachdem Sie diese Wahl getroffen haben, können Sie jetzt nach lösen$m_G$,$\ell_G$, Und$t_G$bezüglich$c$,$G$, Und$\text{kilogram}$(oder welche andere Wahl Sie auch getroffen haben; jede Wahl gibt Ihnen ein anderes Einheitensystem).

Das Durchlaufen der Mathematik dafür bringt Sie

$$\begin{align} m_G &= 1\text{ kg} & \ell_G &= \frac{G (1\text{ kg})}{c^2} & t_G &= \frac{\ell_G}{c} = \frac{G (1\text{ kg})}{c^3} \end{align}$$

Jetzt können Sie Werte von einfügen$G$Und$c$in, sagen wir, SI-Einheiten, und Umrechnungen von SI (oder was auch immer) in dieses Einheitensystem erhalten. Beachten Sie, dass, wie gesagt, Länge nicht buchstäblich die gleichen Einheiten wie Zeit oder Masse hat, aber Sie können zwischen Längeneinheit, Zeiteinheit und Masseneinheit umrechnen, indem Sie mit Faktoren von multiplizieren$G$Und$c$, Konstanten, die den numerischen Wert 1 haben. In gewissem Sinne können Sie diese Multiplikation mit betrachten$G^ic^j$als analog zu einer Eichtransformation, dh einer Transformation, die keine Auswirkung auf den Zahlenwert einer Größe hat, und die Längen-, Zeit- und Masseneinheiten werden durch diese Transformation ebenso aufeinander abgebildet wie eichäquivalente Zustände miteinander durch eine Eichtransformation in QFT. Also ist es richtiger zu sagen$L \sim T \sim M$; Die Abmessungen sind nicht gleich , nur unter einer gewissen Transformation gleichwertig .

Wenn Sie dasselbe tun, aber die Einstellung$c = \hbar = 1$Denken Sie stattdessen daran, dass Sie in Wirklichkeit angeben, dass Ihre Einheiten die Einschränkungen erfüllen müssen

$$\begin{align} c &= \frac{\text{length unit}}{\text{time unit}} = \frac{\ell_Q}{t_Q} & \hbar &= \frac{(\text{length unit})^2(\text{mass unit})}{(\text{time unit})} = \frac{\ell_Q^2m_Q}{t_Q} \end{align}$$

($Q$steht für "Quantum", weil das typische QFT-Einheiten sind), und dann wieder mit durch die Mathematik laufen$m_Q = 1\text{ kg}$, du erhältst

$$\begin{align} m_Q &= 1\text{ kg} & \ell_Q &= \frac{\hbar}{(1\text{ kg})c} & t_Q &= \frac{\ell_Q}{c} = \frac{\hbar}{(1\text{ kg})c^2} \end{align}$$

Auch hier sind die Einheiten nicht wörtlich identisch, aber$\ell_Q \sim t_Q \sim m_Q^{-1}$unter Multiplikation mit Faktoren von$\hbar$Und$c$.

Natürlich muss Ihre dritte Einschränkung nicht eine der grundlegenden Einheiten sein. Sie können auch eine dritte physikalische Konstante mit einem numerischen Wert von 1 wählen. Um beispielsweise Planck-Einheiten zu erhalten, würden Sie angeben

$$\begin{align} c &= \frac{\text{length unit}}{\text{time unit}} = \frac{\ell_P}{t_P} \\ \hbar &= \frac{(\text{length unit})^2(\text{mass unit})}{(\text{time unit})} = \frac{\ell_P^2m_P}{t_P} \\ G &= \frac{(\text{length unit})^3}{(\text{mass unit})(\text{time unit})^2} = \frac{\ell_P^3}{m_Pt_P^2} \end{align}$$

Man merkt, dass es sich nicht mehr um ein unterbestimmtes Gleichungssystem handelt. Wenn Sie es lösen, erhalten Sie

$$\begin{align} m_P &= \sqrt{\frac{\hbar c}{G}} & \ell_P &= \sqrt{\frac{\hbar G}{c^3}} & t_P &= \sqrt{\frac{\hbar G}{c^5}} \end{align}$$

Da Sie hier drei Konstanten mit numerischen Werten von 1 eingestellt haben, sind Ihre drei fundamentalen Planck-Einheiten bis zu Multiplikationen mit Faktoren dieser drei Konstanten äquivalent.$G$,$\hbar$, Und$c$. Mit anderen Worten, Multiplikation mit einem beliebigen Faktor der Form$G^i\hbar^jc^k$ist das Äquivalent zu der zuvor erwähnten Eichtransformation. Sie können sagen, dass alle diese Einheiten unter einer solchen Transformation gleichwertig sind, aber mehr noch, alle Potenzen von ihnen sind gleichwertig! Insbesondere können Sie zwischen konvertieren$M$Und$M^{-1}$durch Multiplikation mit Konstanten, deren Zahlenwert in diesem Einheitensystem gleich 1 ist, und somit ist das kein Problem$M \sim M^{-1}$Hier.

Einheitensysteme als Vektorräume

Eine andere Möglichkeit, Einheitensysteme zu verstehen, die eine Art logische Erweiterung des vorherigen Abschnitts darstellt, besteht darin, sie sich als Vektorraum vorzustellen. Elemente dieses Vektorraums entsprechen Größendimensionen, und die Basisvektoren können so gewählt werden, dass sie den Grunddimensionen entsprechen$L$,$T$, Und$M$. (Natürlich könntest du genauso gut eine andere Basis wählen, aber diese passt zu meinen Zwecken.) Du könntest vertreten

$$\begin{align} L &\leftrightarrow (1,0,0) & T &\leftrightarrow (0,1,0) & M &\leftrightarrow (0,0,1) \end{align}$$

Die Addition von Vektoren entspricht der Multiplikation der entsprechenden Dimensionen. Abgeleitete Dimensionen entsprechen anderen Vektoren, wie z

$$\begin{align} [c] = LT^{-1} &\leftrightarrow (1,-1,0) \\ [G] = L^3M^{-1}T^{-2} &\leftrightarrow (3,-2,-1) \\ [\hbar] = L^2MT^{-1} &\leftrightarrow (2,-1,1) \end{align}$$

In dieser Ansicht entspricht das Setzen einer Konstante auf einen numerischen Wert von 1 dem Projizieren des Vektorraums auf einen Unterraum, der orthogonal zu dem Vektor ist, der dieser Konstante entspricht. Zum Beispiel, wenn Sie festlegen möchten$c = 1$, projizieren Sie den 3D-Vektorraum auf den 2D-Raum orthogonal zu$(1,-1,0)$. Zwei beliebige Vektoren im ursprünglichen Raum, die sich um ein Vielfaches von unterscheiden$(1,-1,0)$dem gleichen Punkt im Unterraum entsprechen - genau wie im vorigen Abschnitt zwei beliebige Dimensionen, die durch Multiplikation mit Faktoren von ineinander umgerechnet werden konnten$c$als gleichwertig angesehen werden könnten. Aber in dieser Ansicht kann man sich eigentlich vorstellen, dass die beiden Dimensionen gleich werden , so dass z. B. Länge und Zeit tatsächlich in der gleichen Einheit gemessen werden.

Da Sie in Planck-Einheiten drei Konstanten auf einen numerischen Wert von eins setzen, müssen Sie im Bild „Dimensionen als Vektorraum“ drei Projektionen durchführen, um zu Planck-Einheiten zu gelangen. Wenn Sie drei Projektionen auf einen 3D-Vektorraum durchführen, erhalten Sie einen 0D-Vektorraum – der gesamte Raum wurde auf nur einen Punkt reduziert. Alle Einheiten werden auf diesen einen Punkt abgebildet und sind gleich. Also nochmal,$M$Und$M^{-1}$sind identisch, und es gibt keinen Konflikt.

1. Wenn$t = c$, Dann,$r = \frac{t}{2}$oder$\frac{c}{2} = \rm radius$.

2. Verwenden Sie im Normalisierungsprozess im Allgemeinen Folgendes:

   (ich)$G = 1$.

   (ii)$c = 1$in Planck-Zeit.

   (iii)$h = 1$.

   (iv)$m = 1 = \rm Planck\ mass$.

3. (i) Daraus ergibt sich der Schwarzschild-Radius =$2.1.1/1.1 = 2$Einheiten von was?

   (ii) Das Lokale$g=c$Radius$\left(\frac{1.1}{1}\right)^{0.5} = 1 = r$?

   (iii) Lokale Compton-Wellenlänge =$\frac{h}{cm} = \frac{1}{1.1} = 1 = 2r$?

4. Der einzige praktikable Normalisierungsprozess, der mir einfällt, ist:

   (ich)$c = 2 =2r = \rm diameter$.

   (ii)$G = 2$.

   (iii)$h = c^2 = 2^2 = mc^2 = 4$.

   (iv)$m = 1 =\rm Planck\ mass$.

   (v) Dann${\rm Schwarzschild\ radius} = 1\ {\rm or}\ c/2$.

   (vi)$t = {\rm time} = 1 =\rm Planck\ time$.

5. Die Compton-Wellenlänge oder -länge spielt eine andere Rolle in der Physik, und das heißt, sie wird zur Oberfläche g jeder Schwarzschild-Oberfläche in Planck-Zeiteinheiten.

In Einsteins Faktor-von-2-Formel$2GM\over Rc^2$, entspricht der Formel

$gt^2\over 2$= Entfernung, wo$t$= Ortszeit.

In einer Schwarzschild-Erhaltung vor Ort$g$ist gleich$c$wo wir lokalen Durchmesser zum lokalen machen$c$. Also lokal$g = c = 2$.

Unter Verwendung der obigen Begründung und Normalisierung:

Wenn ein Lichtstrahl den streifenden Einfall kreuzt und dann die Strecke r zurücklegt,

${gt^2\over{2}} = \frac{2.1}{2.(2)^2} = 1/4$eines Radius. Das heißt, Licht legt einen Radius zurück, also eine halbe Planck-Zeiteinheit.$(1/2)^2 = 1/4$. Dies wäre die Auswirkung auf jeden Lichtstrahl beim streifenden Einfall auf jede Schwarzschild-Fläche.

Wenn ein Teilchen an reist$c/(2)^{0.5}$überquerte den streifenden Einfall, den es dauern würde$(2)^{0.5}$Planck Zeiteinheiten, dann würde die Formel ergeben$r/2$was es in eine Umlaufbahn um den Schwarzschild-Umfang bringen würde. Das ist alles theoretisch, aber es funktioniert als Proportionierungsübung, wenn man Vergleiche mit größeren Sphären anstellt.

Der Punkt ist, dass dies eine Übung zur Verknüpfung der Schwerkraft mit den Planck-Einheiten ist, daher wäre es nützlich, wenn wir beweisen könnten, dass Gravitationsfunktionen so reibungslos funktionieren wie alles andere.