Planck-Zeit, Entfernung, Masse? Warum nehmen wir diese Werte?

Ausgezeichnete Frage! Soweit ich weiß, gibt es nichts Besseres als eine strenge Rechtfertigung dafür, dass Quantengravitationseffekte bei der Planck-Masse / -Länge / -Zeit eintreten sollten. Aber es gibt eine intuitive Begründung, die ungefähr so ​​lautet:

Wie Sie vielleicht wissen, können in der speziellen Relativitätstheorie viele Größen als Potenzreihe in ausgedrückt werden$\frac{v^2}{c^2}$.

Wenn Sie mit einer physischen Situation arbeiten, in der$\frac{v}{c} \ll 1$, können Sie die Terme höherer Ordnung in diesem Ausdruck vernachlässigen. Das bedeutet, dass$c$ist gewissermaßen eine charakteristische Geschwindigkeit, bei der relativistische Effekte (die Terme höherer Ordnung) einen signifikanten Unterschied machen. Dies bedeutet natürlich nicht, dass Sie die Relativitätstheorie bei Geschwindigkeiten von weniger als vollständig ignorieren können$c$, aber eine gute Faustregel ist, dass relativistische Korrekturen bei Geschwindigkeiten von weniger als ungefähr unbedeutend sind$c/10$, was nur eine Größenordnung davon entfernt ist. In unserer alltäglichen Erfahrung, acht Größenordnungen weniger als die Lichtgeschwindigkeit, spielt dieser eine Faktor von 10 nicht wirklich eine Rolle.

Ähnliches passiert in der Quantenmechanik, wenn auch nicht ganz so eindeutig. Zu den Quanteneffekten gehören im Wesentlichen Dinge wie Interferenz und Beugung von Wellenfunktionen, die signifikant werden, wenn die Wellenlänge mit der Größe der beteiligten Objekte vergleichbar ist. (Dies ist ein Ergebnis der klassischen Wellenmechanik; ich werde hier nicht ins Detail gehen.) Sie können sich also eine Größe wie vorstellen$\frac{\lambda}{r} = \frac{h}{rp}$eine ähnliche Rolle spielen$\frac{v^2}{c^2}$tut in SR: Es gibt Ihnen eine Schätzung der Größenordnung der Größenordnung, in der Quanteneffekte ins Spiel kommen. Es ist jedoch eine sehr unverblümte Schätzung, weil Quantenkorrekturen viele verschiedene Formen annehmen – stellen Sie sich die Quantenmechanik als Potenzreihe in „$\frac{h}{\text{stuff}}$," nicht unbedingt$\frac{h}{rp}$Exakt. In der Praxis stellt sich das oft heraus$\frac{h}{rmc}$ist ein besser zu verwendender Parameter;$\frac{h}{mc}$wird als Compton-Wellenlänge bezeichnet .

Schließlich kann dasselbe über die allgemeine Relativitätstheorie gesagt werden, insbesondere über den Teil, der sich mit starken Gravitationsfeldern befasst. In diesem Fall ist der relevante Parameter$\frac{2Gm}{rc^2}$, die in verschiedenen exakten Lösungen der Einstein-Feldgleichungen auftaucht. Dies bedeutet, dass der Schwarzschild-Radius $\frac{2Gm}{c^2}$ist ein charakteristischer Radius, bei dem allgemeine relativistische Effekte signifikant werden.

Nun sollte eine Quantentheorie der Gravitation all diese Dinge kombinieren. Eine generische Größe könnte also in der Quantengravitation als multivariable Potenzreihe wie folgt berechnet werden:

Wo$X_{0,0,0}$ist der klassische, langsame Näherungswert, und die Indizes geben an, wie viele Potenzen der verschiedenen Korrekturfaktoren beteiligt sind. Jeder Term, der für bestimmte Kombinationen der Indizes Nullen hat, können wir bereits mit bestehenden Theorien berechnen. Wenn wir zum Beispiel eine Größe mit der speziellen Relativitätstheorie berechnen, erhalten wir die Potenzreihe

der sich um alles kümmert$(n,0,0)$Bedingungen. Ebenso kümmert sich die Quantenmechanik um all das$(0,n,0)$Begriffe und GR alle$(0,0,n)$Begriffe - in der Tat, weil GR die spezielle Relativitätstheorie enthält, können Sie auch die bekommen$(m,0,n)$Begriffe daraus. Die Begriffe mit Indizes der Form$(m,n,0)$stammen aus der Kombination von spezieller Relativitätstheorie und Quantenmechanik, nämlich der Quantenfeldtheorie.

Was bleibt also? Die verbleibenden Terme, die von bestehenden Theorien nicht abgedeckt werden, sind vernachlässigbar, es sei denn, wir haben ein System, das Folgendes ist:

• sehr dicht,$r \sim \frac{2Gm}{c^2}$
• und sehr klein,$r \sim \frac{h}{mc}$

Wenn wir diese Bedingungen gleichsetzen, erhalten wir$\frac{2Gm}{c^2} \sim \frac{h}{mc}$, oder

(Ich habe einen Faktor von$\sqrt{\pi}$weil wir nur in Größenordnungen arbeiten) und wieder an eine der Bedingungen anschließen,

Also die Arten von Systemen, bei denen die$(0,m,n)$Terme in dieser "Master-Potenzreihe" werden genau diejenigen relevant, bei denen die Masse in der Größenordnung der Planck-Masse und die Größe in der Größenordnung der Planck-Länge liegt. Um das Verhalten dieser Systeme zu berechnen, benötigen wir eine Theorie, die es uns erlaubt, diese zu berechnen$(0,m,n)$Terme, und zwar alle Terme mit beliebigen Indizes - mit anderen Worten, eine Quantentheorie der Gravitation.

Weil die Bedeutung dieser Konstanten Ihnen zeigt, dass die Planck-Länge und die Planck-Zeit Grenzen des Weltraums sind, während die Planck-Masse die Untergrenze für ein Schwarzes Loch ist (alles Leichtere wird als Fundamentalteilchen bezeichnet).

Sie sollten die Konstanten wie folgt verstehen: c konvertiert von Sekunden in Meter, es zeigt, dass Zeit und Raum gleich sind. Sie sollten es auf eins setzen, es ist die am wenigsten interessante Konstante der drei.

In Einheiten mit c=1 hat G Längen-/Masseneinheiten, also wandelt es die Masseneinheit in eine Längeneinheit um. Die mit der Masse verbundene Länge ist der Radius des Schwarzen Lochs dieser gegebenen Masse, bis auf einen kleinen Faktor.

hbar gibt Ihnen die Energie-/Impulszeit-/Positionsunsicherheit an, sodass der Radius, bei dem die Compton-Wellenlänge eines Schwarzen Lochs mit seiner Größe vergleichbar ist, die Planck-Länge ist.

Dies ist die kleinste Entfernung, die Sie untersuchen können, da ein Teilchen mit Planck-Energie erforderlich ist, um die Planck-Länge zu untersuchen, und es wird ein Schwarzes Loch von der Größe der Planck-Länge erzeugen. Anders als bei Beschleunigern, wo höhere Energien kürzere Entfernungen untersuchen, werden bei höheren Energieskalen als der Planck-Masse keine kürzeren Entfernungen untersucht, sondern am Ende große Schwarze Löcher erzeugt.

Dies bedeutet, dass die Planck-Länge und die Planck-Zeit bis auf kleine Faktoren die kürzesten Entfernungen sind, die Sie messen können. Eine Anwendung des logischen Positivismus lässt Sie den Schluss ziehen, dass kürzere Entfernungen in der Quantengravitation wahrscheinlich bedeutungslos sind. Die Planck-Masse ist die Grenze zwischen einem Elementarteilchen und einem Schwarzen Loch. Dies ist eine Dimensionsanalyse, sodass Sie ihr nur bis zu einem dimensionslosen Faktor vertrauen.

Das Interessante ist, dass die universelle Gravitationskonstante nicht einmal eine feste Konstante ist, ( weshalb es keine Genauigkeit des gemessenen Wertes gibt$G$? )