Das ist kein „schlechter Geschmack“, das ist unberechenbar bis zur Bedeutungslosigkeit.

Der springende Punkt bei der Dimensionsanalyse ist, dass es einige Größen gibt, die nicht miteinander vergleichbar sind: Sie können nicht entscheiden, ob ein Meter größer oder kleiner als zehn Ampere ist, und der Versuch, fünf Volt zu zehn Kelvin zu addieren, ergibt nur funktionsunfähigen Unsinn . (Einzelheiten dazu finden Sie unter Was rechtfertigt die Dimensionsanalyse? und die vielen verlinkten Duplikate in der Seitenleiste rechts.)

Genau das passiert beispielsweise mit der Exponentialfunktion: Wenn Sie die Exponentialfunktion von einem Meter wollen, müssen Sie in der Lage sein, einen Sinn zu erkennen

$$\exp(1\:\rm m) = 1 + (1\:\rm m) + \frac12(1\:\rm m)^2 + \frac{1}{3!}(1\:\rm m)^3 + \cdots,$$ und das erfordert, dass Sie in der Lage sind, Längen mit Flächen, Volumen und anderen Potenzen der Position zu addieren und zu vergleichen. Sie können versuchen , die Einheiten einfach herauszuschneiden und damit umzugehen, aber denken Sie daran, dass sie genau mit dem Äquivalent übereinstimmen müssen $$\exp(100\:\rm cm) = 1 + (100\:\rm cm) + \frac12(100\:\rm cm)^2 + \frac{1}{3!}(100\:\rm cm)^3 + \cdots,$$ und es gibt einfach keinen unveränderlichen Weg, dies zu tun.

Nun, um es klarzustellen, das Problem ist viel tiefer als das: das eigentliche Problem mit$\exp(1\:\rm m)$ist, dass es einfach keine sinnvolle Möglichkeit gibt, es so zu definieren, dass es (i) unabhängig vom Einheitensystem ist und (ii) eine Reihe von Eigenschaften behält, die ihm wirklich den Namen eines Exponentials einbringen. Wenn man eine einfache, klare Art und Weise haben möchte, es zu sehen, ist es ein guter Blickwinkel, das zu bemerken, wenn man es definieren würde$\exp(x)$zum$x$mit nichttrivialer Dimension, dann würden Sie es unter anderem bitten, der Eigenschaft zu gehorchen

$$\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\exp(x)=\exp(x),$$ was dimensional inkonsistent ist, wenn $x$(und deshalb $\mathrm d/\mathrm dx$) ist nicht dimensionslos.

Es wurde auch in den Kommentaren und tatsächlich in einem veröffentlichten Artikel festgestellt, dass Sie tatsächlich Taylor-Reihen über dimensionale Größen haben können, indem Sie einfach festlegen$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} \frac{\mathrm d^nf}{\mathrm dx^n}(0)x^n$, und das ist wahr genug. Für die transzendentalen Funktionen wollen wir jedoch keine alten Taylor-Reihen, wir wollen die kanonischen: Sie sind oft die Definition der Funktionen, mit der man beginnt, und wenn jemand eine Definition von zum Beispiel vorschlagen würde$\sin(x)$für dimensional$x$, dann ist es den Namen einfach nicht wert, es sei denn, es kann auf die kanonische Taylor-Reihe zurückgeführt werden. Und wie oben erläutert, haben die kanonischen Taylor-Reihen grundlegende Skalierungsprobleme, die sie tot im Wasser machen.

---

Allerdings kann man bei Logarithmen bei ganz bestimmten Gelegenheiten vom Logarithmus einer dimensionalen Größe sprechen$q$, aber da nehmen Sie im Wesentlichen einen Vertreter$q_0$und rechnen

$$\log(q/q_0)=\log(q)-\log(q_0),$$ wobei Sie für letzteres verlangen , dass die beiden numerischen Werte in denselben Einheiten vorliegen – in diesem Fall ist die endgültige Antwort unabhängig von der Einheit selbst. Wenn die Situation es Ihnen auch erlaubt, additive Konstanten fallen zu lassen oder sie in etwas anderes einzubauen (z. B. beim Lösen von ODEs, wobei ein repräsentativer Fall das elektrostatische Potential einer unendlichen Linienladung ist , oder wenn Sie Diagramme im logarithmischen Maßstab erstellen), dann die könntest du loswerden $\log(q_0)$in dem Verständnis, dass es in der Wäsche herauskommt, wenn Sie zurückkommen, um die i-Punkte zu setzen.

Aber nur weil es im speziellen Fall des Logarithmus möglich ist, der einzigartig darin ist, multiplikative Konstanten in additive umzuwandeln, bedeutet das nicht, dass Sie es in anderen Kontexten verwenden können – und Sie können es nicht.

Orthodoxe Sicht

Etwas formell betrachtet:$\exp x$kann als Reihe ausgedrückt werden:

$$\exp x=1 + x +\frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + \cdots$$

Also wenn$x$Einheit hat$X$, dann haben die Terme dieser Reihe entsprechende Einheiten

$$\text{None}, X, X^2, X^3, \cdots X^n, \cdots$$

was nicht maßhaltig ist. Das gleiche Argument für$\ln$oder für jede analytische Funktion (dh eine Funktion, die in einer solchen Reihe entwickelt werden kann). Dies würde auch für etwas so Einfaches gelten wie

$$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\cdots.$$

Eigentlich braucht man nicht einmal die ganze Serie. Nur zwei Terme einer Taylorentwicklung reichen aus, um die Variable dimensionslos zu machen. Zum Beispiel wenn eine Funktion$f(x)$geht wie

$$f(x) = x - x^2 + O(x^3),$$

wie$x$geht dann zB auf 0$x$kann keine Dimension haben$X$, sonst würde man am Ende hinzufügen$X$und$X^2$. Dies gilt natürlich auch für asymptotische Reihen, wie z

$$f(x) = \frac{1}{x^2} + \frac{2}{x^3} + O\left(\frac{1}{x^4}\right),$$

wie$x\to+\infty$.

Spiel um die Orthodoxie

Was ist mit dem folgenden Argument. Ich werde ein sehr einfaches Beispiel nehmen, das überhaupt keine Serie beinhaltet,

$$f(x) = x + x^2.$$

Das obige orthodoxe Argument impliziert dies$x$soll dimensionslos sein. Aber ich werde argumentieren, dass die Koeffizienten 1 von$x$und$x^2$haben tatsächlich Dimensionen$X^{-1}Y$und$X^{-2}Y$, wo$X$ist die Einheit von$x$, und$Y$würde dann die Einheit von werden$f(x)$. Es macht alles konsistent, nicht wahr? Ja, aber es ist eine Farce, weil es bedeutet, dass statt$f(x)$wir beschäftigen uns tatsächlich

$$f_\text{pseudo}(x) = a\left(\frac{x}{x_0}+\left(\frac{x}{x_0}\right)^2\right),$$

wo$x_0$Einheit hat$X$und$a$Einheit hat$Y$, das heißt

$$f_\text{pseudo}(x) = af\left(\frac{x}{x_0}\right).$$

Und hier ist es: das Argument von$f$ist tatsächlich dimensionslos! Das Argument lässt sich auf beliebige Reihen verallgemeinern. Betrachten wir exponentiell als Illustration:

$$\exp x = \sum_{i=0}^n \frac{1}{n!}x^n.$$

Das Argument wäre also das$1/n!$Einheit hat$X^{-n}$eigentlich. Fair genug, aber dann statt$\exp$, es bedeutet, dass wir damit umgehen

$$\exp_\text{pseudo}(x) = a\sum_{i=0}^n \frac{1}{n!}\left(\frac{x}{x_0}\right)^n,$$

wo$x_0$hat die Dimension$X$, und wo jetzt$1/n!$ist dimensionslos und wie oben$a$hat eine gewisse Dimension$Y$. Das heißt das

$$\exp_\text{pseudo}(x) = a\exp\frac{x}{x_0}.$$

Wir landen also beim Argument von$\exp$dimensionslos sein.

Meine instinktive Meinung zu diesem kleinen Spiel: na ja! All das dafür, wirklich? Darüber hinaus ist es, wie von Emilio Pisanty in den Kommentaren erwähnt, erforderlich, dass wir eine Tonleiter zupfen$x_0$(und noch eine andere Skala$a$potenziell) aus dem Himmel: Der springende Punkt bei der Dimensionsanalyse ist, dass wir alle möglichen Dimensionsgrößen im Voraus berücksichtigt haben. Hier stellen wir im Nachhinein noch einen vor und er ergibt weder für Emilio noch für mich einen Sinn.

Der Grund, warum Ihr Lehrer es „geschmacklos“ und nicht einfach falsch nannte, ist, dass die Leute dies die ganze Zeit mit dem Logarithmus machen. Der Logarithmus ist einzigartig, weil Sie damit multiplikative Faktoren in additive Terme aufteilen können, sodass die Leute so etwas schreiben wie

$$\log(r/r_0) = \log(r) - \log(r_0) = \log(r) + C.$$ Der gebräuchlichste Weg, dies versehentlich zu tun, ist durch ein Integral, $$\int \frac{\mathrm dr}{r} "=" \log r + C.$$ Das ist technisch falsch, aber fast jeder schreibt es so. Am Ende des Tages können Sie die Konstanten immer wieder zum Logarithmus kombinieren, damit die Argumente die richtigen Dimensionen haben.

Die anderen Antworten sind richtig, dass Sie, wenn Sie es in Bezug auf die Einheitenanalyse betrachten, keine Größen addieren können, die unterschiedliche Einheiten haben. Trotzdem kann man formal immer so etwas tun

$$f\left(\frac{x}{1\operatorname{m}}\right)$$ um etwas zu bekommen, das mathematisch funktioniert.

Wo es zu schlechtem Geschmack/schlechter Praxis wird, ist, dass Sie diesen Nenner selbst von Hand eingeführt haben. Bei jedem physikalischen Problem, bei dem Sie eine komplizierte Funktion bewerten müssen, z$\sin$,$\ln$, oder$\exp$, wird es immer eine physikalisch relevante Größe mit denselben Einheiten geben, die es Ihnen ermöglicht, eine einheitenlose Größe zu bilden. Wenn wir zum Beispiel mit dem einfachen harmonischen Oszillator arbeiten, können wir die Federkonstante kombinieren,$k$, und die Masse,$m$, um eine Größe mit den Einheiten der inversen Zeit zu erzeugen,$\omega \equiv \sqrt{k/m}$. Es ist das$\omega$das erlaubt uns, vernünftig zu schreiben$x=A\sin(\omega t)$um die Bewegung des Oszillators zu beschreiben.

Ich habe absichtlich etwas eingerichtet, das sich so liest:

f lbs = Brücke mV / 2 ^{x log ₂ mV / lbs}

Ja das funktioniert. Die 2 ist eine offensichtlich dimensionslose Konstante*, also muss die Einheit wirklich auf dem x stehen.

Es ist eine Art schlechter Stil, da wirklich kleine Änderungen in x wirklich großen Änderungen im Ergebnis entsprechen oder es sonst schwierig ist, ein Gefühl dafür zu bekommen, was die Zahlen bewirken werden.

*Wenn die Formel in ihrer nativen Form dargestellt wird, existiert die 2 nicht; es erscheint nur, wenn es in Standardform umgeschrieben wird.

Meiner Meinung nach verhalten sich die meisten Einheiten wie multiplikative Unbekannte. Das heißt, wir können uns vorstellen, dass es eine (möglicherweise unbekannte) natürliche Einheit für die Menge gibt und die Einheit ein (möglicherweise unbekannter) Skalierungsfaktor ist, der unsere menschliche Einheit in die natürliche Einheit umwandelt. Um eine konsistente Formel zu erstellen, möchten wir, dass sich all diese Unbekannten aufheben. Physiker betrachten Einheiten, die sich nicht wie multiplikative Unbekannte verhalten (zum Beispiel Celsius und Fahrenheit), als geschmacklos.

Es stellt sich also die Frage, was verschiedene Funktionen mit einer multiplikativen Unbekannten machen. Betrachten wir die einfache Funktion, die Zahl zu potenzieren.

$F(x) = x^n -> F(xu) = F(x)F(u)$

Großartig, wir hatten eine Einheit für guten Geschmack, und eine Einheit für guten Geschmack kam heraus.

Schauen wir uns nun den Logarithmus an.

$F(x) = log_n(x) -> F(xu) = F(x) + F(u)$

Dieses Ergebnis ist keine "gute Geschmackseinheit", da es eher eine additive Unbekannte als eine multiplikative Unbekannte ist, aber es ist nicht schrecklich, damit zu arbeiten. In vielen Fällen können wir das F(u) streichen und zu einer konsistenten Formel gelangen. In der Tat verwenden Ingenieure den Logarithmus oft auf diese Weise.

Betrachten wir nun die Exponentialfunktion.

$F(x) = n^x -> F(xu) = (F(x))^u$

ick, ich denke, in einigen Fällen ist es möglich, die Stromversorgung zu unterbrechen, aber es ist ziemlich schrecklich, damit umzugehen.