Ist die Zahl 1 eine Einheit?

Dies ist analog zur Definition eines leeren Produkts in der Mathematik. Für eine endliche nichtleere Menge$S=\{s_1,\ldots,s_n\}$, das Produkt vorbei$S$kann definiert werden als

$$\prod_{s\in S}s=s_1\times \cdots\times s_n.$$ Für ein solches Produkt möchten Sie, dass disjunkte Vereinigungen Produkten zugeordnet werden: if $R\cap S=\emptyset$, dann willst du $\prod_{x\in R\cup S}x=\left(\prod_{s\in S}s\right) \times \left(\prod_{r\in R}r\right)$, aber damit dies sinnvoll ist, möchten Sie in der Lage sein, mit der leeren Menge umzugehen, und die einzige Möglichkeit, die Regeln konsistent zu machen, besteht darin, festzulegen $$\prod_{s\in\emptyset}s=1.$$ Dies besagt im Wesentlichen: Wenn es nichts zu multiplizieren gibt, ist das Ergebnis eins . (In ähnlicher Weise werden leere Summen aus demselben Grund als Null definiert.) Im vorliegenden Fall könnten Sie einfach sagen, wenn es keine Einheiten zum Multiplizieren gibt, erhalten Sie eine . Wie Luboš betont, ist dies die harmlose einzige konsistente Wahl, da die Multiplikation mit eins die Menge nicht ändert.

Darüber hinaus kann diese Leerproduktintuition zu einer vollständigen Formalisierung physikalischer Dimensionen und Einheiten als Vektorraum durchgeführt werden. Das ganze Werk ist in dieser Antwort von mir enthalten , aber die wesentliche Idee ist, dass positive physikalische Größen einen Vektorraum über den Rationalen bilden, wobei „Addition“ die Multiplikation zweier Größen ist und „Skalarmultiplikation“ die Menge auf eine rationale Potenz erhöht. Dieser Vektorraum-Formalismus ist genau der Grund, warum die Dimensionsanalyse oft auf einen Satz linearer Gleichungen hinausläuft. Außerdem ist in diesem Vektorraum die „Null“ die physikalische Größe und Einheit$1$- Keiner der Vektorräume macht Sinn, es sei denn$1$ist sowohl eine Menge als auch eine Einheit.

Letztendlich läuft es natürlich auf Konvention hinaus, also können die Leute einfach sagen „Ich werde das anders machen“ und sie werden als solche nicht „falsch“ sein. Im Allgemeinen besteht die konsistente Art, Dinge zuzuordnen, jedoch darin, zu sagen, dass dimensionslose Größen eine Dimension haben$1$(Modulo, welche eckige Klammer-Konvention Sie verwenden) und Einheit$1$.

Um dies ein wenig zu untermauern, veröffentlicht das BIPM für diejenigen, die sich um organisatorische Leitlinien kümmern, das International Vocabulary of Metrology , in dem (§1.8, Anmerkung 1) dies angegeben ist

Der Begriff „dimensionslose Größe“ ist gebräuchlich und wird hier aus historischen Gründen beibehalten. Sie rührt daher, dass in der symbolischen Darstellung der Dimension für solche Größen alle Exponenten Null sind. Der Begriff „Menge der Dimension Eins“ spiegelt die Konvention wider, dass die symbolische Darstellung der Dimension für solche Größen das Symbol 1 ist (siehe ISO 31-0:1992, 2.2.6).

Dies ist im Wesentlichen dasselbe im ISO-Dokument, das durch ISO 80000-3:2009 (mit Bezahlschranke, aber kostenlose Vorschau verfügbar) ersetzt wurde, das einen im Wesentlichen identischen Eintrag in §3.8 enthält.

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Schließlich, und als Antwort auf einige Kommentare von Luboš Motl, gilt dies für den Begriff "physikalische Dimension", wie er von der Mehrheit der Physiker verstanden wird.

Es gibt auch eine alternative Konvention, die in hochenergetischen Kontexten verwendet wird, in denen Sie in natürlichen Einheiten arbeiten$\hbar=c=1$, bei dem Ihnen eine einzige nicht triviale Dimension übrig bleibt, die normalerweise als Masse (= Energie) angesehen wird. In diesem Zusammenhang ist es üblich zu sagen, dass eine Größe oder ein Operator „Dimension“ hat$N$" bedeutet, dass es Massendimension hat$N$dh es hat eine physikalische Dimension$m^N$, aber da es immer nur Masse als Grundgröße gibt, wird sie oft weggelassen. Dies ist jedoch in Bezug auf den Rest der physikalischen Wissenschaft ein Eckfall, und Hochenergietheoretiker sind nachlässig, wenn sie vergessen, dass ihre "Dimension$N$" funktioniert nur in natürlichen Einheiten, die außerhalb ihrer kleinen Domäne nutzlos sind.

Die Nummer$1$kann sprachlich als "Einheit" bezeichnet werden. Genau diese Zahl ist die ursprüngliche Quelle verschiedener Wörter in der Terminologie, wie der "Einheitsmatrix" (einer Matrix, die sich wie die Zahl verhält$1$).

Es ist eine Konvention aufzuschreiben, dass dimensionslose Größen wie die Machzahl Einheiten haben$1$weil die Multiplikation mit$1$am Ergebnis ändert sich nichts – das ist das Gegenstück der Multiplikation mit einer anderen Einheit wie${\rm m/s}$.

Es sieht einfach stimmiger aus, die Einheit zu schreiben$1$in die Tabellen. Mündlich kann man aber auch sagen, dass Größen mit „dieser Einheit“ überhaupt keine Einheit haben. Sie sind dimensionslos. Solange man die Logik versteht, ist es kein Problem, diesen etwas widersprüchlichen Konventionen zu folgen, in denen wir manchmal sagen, dass die Einheiten sein sollen$1$und manchmal sagen wir, dass die Einheiten nicht da sind.

In den Tabellen bedeutet die Spalte „Einheit“ „das Verhältnis der Gesamtmenge zu ihrem Zahlenwert“. Mit dieser Definition kann das Ergebnis wie folgt berechnet werden$1$ohne Probleme. Es ähnelt der Aufgabe, Haushaltsdefizite als Differenz von Einnahmen und Ausgaben zu berechnen. Wenn die beiden letzteren gleich sind, ist der Unterschied gerecht$0$. Man darf schreiben$0$obwohl er es auch so schreiben könnte$-$und sagen, dass der Unterschied "nicht existiert". Die Zahlen$0$und$1$spielen die Rolle der "neutralen Objekte" für die Addition bzw. Multiplikation.

DIN EN ISO 80000-1:2012-10 auf S. 26

Kapitel 6.5.5: Die Einheit Eins

Von mir aus dem Deutschen übersetzt:

Die kohärente SI-Einheit für jeden Wert der Dimensionszahl ist die Einheit Eins, Symbol 1. Diese Einheit wird im Allgemeinen nicht geschrieben, wenn ein solcher Wert durch ihre Zahl gegeben ist. ZB Anzahl der Windungen in einer Spule$N = 25 \cdot 1 = 25$

Von mir übersetzt und zusammengefasst:

Spezielle Bezeichnungen [ich denke, das wäre Rad, Grad, ...] für die Einheit Eins können mit SI-Präfixen kombiniert werden. Die Symbole % und pro-mil sind Teil der zusammenhängenden Einheit eins. Das Einheitenzeichen 1 selbst sollte nicht mit Präfixen kombiniert werden, sondern dann als Zehnerpotenzen geschrieben werden.

Die Norm empfiehlt, nicht das Wort dimensionslos oder Dimension 1 zu verwenden, sondern „Dimensionsnummer“. Die anderen Definitionen sind "veraltet". Als Beispiel sei die Stoffmenge 5 mmol/mol angegeben, wobei der Wert 5, die Einheit 1 und die Dimension die Zahl 0,001 ist.

Wenn$6$und$7$haben jeweils Einheiten$1$, und wenn sich diese Einheit wie andere Einheiten verhält, dann$6\times 7=42$Einheiten haben würde$1^2$. Meine Größe wird in Metern gemessen, aber die Hälfte meiner Größe ist in$\mathrm{m}1^{-1}$. Wenn Sie dies mit zwei multiplizieren, erhalten Sie meine Größe in Metern zurück, aber wenn Sie es mit sich selbst addieren, erhalten Sie eine Größe, die numerisch gleich meiner Größe ist, aber Einheiten hat$\mathrm{m}1^{-1}$.

Ich denke, es wäre ziemlich schwierig, dies konsistent zu machen, also müssen wir daraus schließen, dass if$1$eine Einheit ist, verhält sie sich etwas anders als andere Einheiten. Und wenn dem so ist, warum sollten wir es dann überhaupt Einheit nennen?

Zur Verdeutlichung: Ich finde es eigentlich in Ordnung zu sagen, dass die Einheiten einer Größe sind$1$. Diese Antwort bezieht sich nur auf den Teil der Frage, der besagt: "ist die Nummer$1$eine Einheit per Definition", was ich so verstanden habe, "ist es eine Basiseinheit, wie$\mathrm{m}$oder$\mathrm{K}$?"