Einheiten INNERHALB einer Dirac-Delta-Funktion

Lassen Sie uns zunächst eines klarstellen: Sie können niemals zwei Ausdrücke mit unterschiedlichen Einheiten addieren (oder subtrahieren). Zum Beispiel im$\delta(x - 1)$, die 1 ist einheitenlos, was bedeutet$x$muss auch einheitenlos sein.

Dann gibt es die separate Ausgabe der Einheiten des Ausdrucks innerhalb des Dirac-Deltas. Der Ausdruck innerhalb des Deltas ist sein Argument, und wie Sie wissen, muss das Argument nicht ohne Einheit sein. Da ist also deine Antwort. Du kannst schreiben$\delta(x - 1\text{ m})$, zum Beispiel, und seit$x - 1\text{ m}$Längeneinheiten hat, hat die Delta-Funktion selbst Einheiten umgekehrter Länge.

Der Grund, warum die Argumente vieler Funktionen einheitenlos sein müssen, ist, dass diese Funktionen als Potenzreihen ausgedrückt werden können.

$$f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots$$

bei dem die$a_i$sind nur Zahlen. ¹ Zum Beispiel

$$\begin{align} \exp(x) &= 1 + x + \frac{1}{2}x^2 + \cdots \\ \sin(x) &= x - \frac{x^3}{6} + \cdots \end{align}$$

Wenn$x$Einheiten von, sagen wir, Länge, dann würden Sie eine Zahl zu einer Länge zu einer Fläche (Länge zum Quadrat) zu einem Volumen usw. addieren, und wie gesagt, das kann nicht passieren.

Aber die Deltafunktion ist keine dieser Funktionen, die als Potenzreihe ausgedrückt werden können. Eigentlich ist es gar keine Funktion . Es ist eine Verteilung, die implizit durch das Integral definiert ist

$$\int_a^b f(x) \delta(x - x_0)\mathrm{d}x = \begin{cases}f(x_0), & a \le x_0 \le b \\ 0,& \text{otherwise}\end{cases}$$

Damit dieses Integral mit den gleichen Einheiten herauskommt wie$f(x_0)$, wobei der Rest des Ausdrucks integriert wird - also die Kombination$\delta(x - x_0)\mathrm{d}x$- muss einheitenlos sein. Und da$\mathrm{d}x$hat die gleichen Einheiten wie$x$,$\delta(x - x_0)$muss die Einheit haben, die diese Einheit aufhebt.

---

¹ Man könnte argumentieren, dass man eine Funktion definieren kann$f$als Potenzreihe, wo die Koeffizienten$a_n$haben Einheiten des entsprechenden Typs, und in diesem Fall das Argument$x$ Einheiten haben würde . Aber Sie können eine solche Funktion immer auf eine andere Funktion einer Variablen ohne Einheit verallgemeinern: Schreiben Sie einfach$a_n = f_0 b_n/x_0^n$Wo$b_n$ist einheitenlos und$x_0$hat die gleiche Dimension wie$x$, und drücken Sie dann die Funktion aus als

$$f(x) = \sum a_n x^n = f_0\sum b_n (x/x_0)^n = f_0 g(x/x_0)$$ Wo $g(y) = \sum b_n y^n$. Die Funktion $g$drückt die gleiche funktionale Beziehung aus wie $f$, aber in Bezug auf eine einheitslose Variable und ist daher allgemeiner nützlich.

Hinweis: Verwenden Sie die Identität

$$\delta(ax)~=~\frac{1}{|a|}\delta(x)$$

(Wo$a\neq 0$eine reelle Konstante ungleich Null ist), um Einheiten in die und aus der Dirac-Delta-Funktion zu transportieren $\delta(x)$.

Sie haben Recht, die Delta-Funktion selbst hat die umgekehrte Dimension ihres Arguments. Die Frage ist nun: Woher kommt das Argument? Was bestimmt seine Einheiten? Prinzipiell kann man für jeden Begriff beliebige Ausdrücke mit unterschiedlichen Einheiten bilden. Aber lässt sich das physikalisch interpretieren? Nein. In vielen Anwendungen in der Physik dient die Delta-Funktion dazu, einen Ausdruck auf einen Punkt im Raum (Zeit) zu beschränken, dh

$$\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r'}),$$

Wo$\mathbf{r}$ist ein allgemeiner Positionsvektor und$\mathbf{r'}$stellt den Ausdruck dar, auf den Sie ihn beschränken möchten. Dies kann beispielsweise verwendet werden, um die Dichte einer Punktladung in der Elektrodynamik zu modellieren. Beide Größen im Argument stellen eine Position dar, dh sie haben die Dimension einer Länge und können daher in Metern gemessen werden. Es wäre nicht sinnvoll, beispielsweise einer Geschwindigkeit eine Position zuzuordnen.

Wenn Sie also einen Ausdruck wie schreiben$\delta(x-1)$, müssen Sie sicherstellen, dass x dimensionslos ist (vorausgesetzt, dass die$1$wird ebenfalls als dimensionslos angenommen).

Bearbeiten:

Du kannst es dir auch so vorstellen:

Die Dirac-Delta-Funktion gibt nur dann einen Wert ungleich Null zurück, wenn ihr Argument verschwindet. In Ihrem Fall ist dies durch die Bedingung gegeben$x-1=0$oder$x=1$. Dies ist eine Gleichung. Eine Gleichung kann nur gelten, wenn die Terme auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens gleich sind . Das bedeutet auch, dass die Einheiten übereinstimmen müssen. Sie können beispielsweise Sekunden nicht mit Metern oder Meter mit einheitenlosen (dimensionslosen) Mengen gleichsetzen. Daher müssen alle Terme im Argument der Delta-Funktion die gleiche Dimension/Einheit haben.