Wie kann man Einheiten wiederherstellen?

Das ist eine gute Frage - wie im Beispiel mit$L,\lambda$Sie angeben, ist nicht jede Neuskalierung und nicht jeder Satz von Konstanten gültig.

Das Rezept für den Satz guter natürlicher Einheiten lautet wie folgt: Nehmen Sie alle Einheiten, die in Ihrer Theorie vorkommen, und erstellen Sie für jede von ihnen einen Raum mit einer Dimension. Sagen wir, wir haben eine Theorie mit Zeit, Länge und Energie – dann haben wir einen dreidimensionalen Raum. Dann können Sie eine Menge von Einheiten klassifizieren$[ \rm length^2 \cdot time]$als Vektor in diesem Raum$(2,1,0)$, nehmen Sie die Potenz als Länge des Vektors in die jeweilige Richtung. Betrachten Sie nun diese Aussage: Jede Menge von Konstanten, die eine Menge von dimensionslosen Einheiten definieren, muss eine Basis dieses Raums bilden. In diesem Fall würden wir wahrscheinlich wählen$[c]=[\rm m\cdot s^{-1}] \to (1,-1,0)$,$[\hbar]=[\rm J\cdot s] \to (0,1,1)$und eine bestimmte Zeiteinheit, es könnte sogar eine Sekunde sein$[1 \rm s]=[ \rm s] \to (1,0,0)$.

Warum linear unabhängig? Denn wenn wir dann ein dimensionsloses Ergebnis erhalten, sollte das gesagt werden$\rm[m]\to (0,1,0)$, gibt es eine einzigartige Möglichkeit, diesen Vektor aus der Basis zusammenzusetzen - dies ist eine sehr grundlegende Eigenschaft einer Basis. Aber anstatt die Vektoren zu addieren und zu subtrahieren, multiplizieren und dividieren wir. Bsp zu bekommen$(0,1,0)$wir müssen abziehen$(1,-1,0)$und hinzufügen$(1,0,0)$, also würde Ihr Ergebnis mit multipliziert werden$1 \,{\rm s}/c$.

Vielleicht ist das zu abstrakt, aber bedenken Sie - Sie wissen sicherlich, dass zwei Konstanten der Dimension Länge in diesem Sinne nicht linear unabhängig sind. Sie können sie also nicht verwenden. Etc. Sie müssen nur aufpassen, dass Sie keine Entartung dieser Art einführen, aber ansonsten ist alles in Ordnung. Denn überraschenderweise scheinen die relevanten physikalischen Konstanten diese Art von Entartung nicht zu haben! Dies ist eine interessante Tatsache - es scheint, dass es nur eine grundlegende Wechselwirkungsebene gibt, es scheint keine wirklich grundlegenden "zweiten Skalen" der Physik zu geben.

"Noah!", sprach der Herr, "baue mir eine Arche, 300 Ellen lang (137,16 m, 450 ft), 50 Ellen breit (22,86 m, 75 ft) und 30 Ellen hoch (13,716 m, 45 ft). Wie viele Kubikkuben Volumen misst Ihre Arche? Wie viele Quadratkuben Holz benötigt Ihre Arche außen? Rechnen Sie weise, bevor Sie Holz vom örtlichen Holzplatz bestellen, und stellen Sie sicher, dass Sie nicht zu viel bezahlen, der Besitzer ist ein Dummkopf und wird stehlen Ihren Schekel, indem Sie Ihnen die Füße in Rechnung stellen!"

Ich nehme an, das geht in die Richtung der Frage, oder? Das gleiche Verhältnis zwischen Fuß und Elle erscheint dreimal, einmal hoch eins, zwei und drei. Wie stellen wir also sicher, dass wir das nicht aus den Augen verlieren? Indem die Einheitslänge in der Gleichung beibehalten wird. 300 Ellen x 50 Ellen x 30 Ellen sind 450.000 Ellen Ellen. Die Antwort 450.000 ist nicht richtig. Ebenso, wenn wir mit rechnen$\bar{h}$und c, selbst wenn$\bar{h}=c=1$, sollte die Antwort als gegeben werden$1\bar{h}c$statt 1! In diesem Fall können wir beliebige andere Einheitenumrechnungen einfügen, die wir benötigen, indem wir die Werte von verwenden$\bar{h}$und c in die Antwort ein und erhalten den korrekten Zahlenwert in diesen neuen Einheiten.