Sind Raum und Zeit austauschbar?

In gewissem Sinne sind Raum und Zeit austauschbar, aber es gibt auch einen sehr wichtigen Sinn, in dem sie verschieden sind.

In der Relativitätstheorie (beide Varianten) behandeln wir die Raumzeit als eine vierdimensionale Mannigfaltigkeit mit drei räumlichen Dimensionen und einer Zeitdimension – ich werde den Unterschied gleich erklären. Jeder Beobachter kann einen Koordinatensatz mit sich selbst im Ursprung wählen, dann kann er seine drei Raumachsen mit seinem Lineal ausmessen und seine Zeitachse mit seiner Uhr messen.

Aber unterschiedliche Beobachter werden sich nicht auf ihre Achsen einigen. Wenn ich mich beispielsweise relativ zu Ihnen bewege, erscheint mir Ihre Zeitachse wie eine Mischung aus meiner Zeit- und Raumachse. Zeit und Raum sind also in dem Sinne austauschbar, dass das, was für Sie wie Zeit aussieht, für mich wie eine Mischung aus Zeit und Raum aussieht. Wenn Sie interessiert sind, werde ich darüber in Was ist Zeit, fließt sie und wenn ja, was bestimmt ihre Richtung? . Diese Vermischung von Zeit- und Raumdimensionen steckt hinter Phänomenen wie Zeitdilatation und Lorentz-Kontraktion.

Während sich jedoch verschiedene Beobachter nicht darüber einig sind, was Raum und was Zeit ausmacht, werden sie sich immer einig sein, dass es drei Raumachsen und eine Zeitachse gibt. Der Unterschied besteht darin, wie diese Dimensionen im metrischen Tensor erscheinen.

Angenommen, wir nehmen den guten alten euklidischen Raum und Sie bewegen sich eine Strecke$dx$entlang der$x$Richtung,$dy$entlang der$y$Richtung u$dz$entlang der$z$Richtung. Die zurückgelegte Gesamtstrecke,$ds$, ist durch den Satz des Pythagoras gegeben:

$$ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2$$

In der speziellen Relativitätstheorie haben wir eine ähnliche Gesamtstrecke, die in der 4D-Raumzeit zurückgelegt wird, und sie wird durch die Metrik angegeben:

$$ds^2 = -c^2dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2$$

Aber beachten Sie, dass die Frist$dt^2$erscheint in der Gleichung mit einem negativen Wert. Dies ist der Hauptunterschied zwischen Raum und Zeit. Die räumlichen Terme haben ein anderes Vorzeichen als die zeitlichen Terme. Sinnlich sind Raum und Zeit ganz verschieden.

Schließlich dieser Faktor von$c$wird benötigt, da beim Addieren von Mengen dieselben Einheiten verwendet werden müssen. In der Gleichung für die Metrik können wir also nicht einfach addieren$dt^2$Und$dx^2$weil das das Addieren von Quadratsekunden zu Quadratkilometern wäre. Multiplizieren mit$c$wandelt die Zeiteinheiten in die gleichen wie die Entfernungseinheiten um.

Um zu sehen warum$c$ist die Lichtgeschwindigkeit siehe Was ist das Besondere an Lichtgeschwindigkeit im Vakuum? .

In gewisser Weise ja, in der Allgemeinen Relativitätstheorie.

Wie in einer anderen Antwort erwähnt, ist das unendlich kleine Quadrat der Entfernung in der flachen 4D-Raumzeit (auch bekannt als Minkowski-Raum ), das in der speziellen Relativitätstheorie erscheint, gegeben durch

$$\begin{equation} ds^2=-c^2 dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2. \end{equation}$$

Etwas komplizierter wird es in der Allgemeinen Relativitätstheorie, weil die Raumzeit gekrümmt sein kann. Im Allgemeinen wird es

$$\begin{equation} ds^2=g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu, \end{equation}$$ Wo $g_{\mu\nu}$ist ein sogenannter metrischer Tensor , und wir verwenden die Einstein-Summierungskonvention , in der die Summierung über wiederholte Indizes impliziert ist, dh RHS wird summiert $\mu$Und $\nu$im Bereich von 0 bis 3 in der 4D-Raumzeit. In sphärischen Koordinaten sieht das so aus $$\begin{equation} ds^2=-c^2 dt^2 + dr^2 + r^2(d\theta^2+\sin^2 \theta d\phi^2). \end{equation}$$

In der speziellen Relativitätstheorie in kartesischen Koordinaten,$g_{\mu\nu}$ist nur eine Diagonalmatrix mit$g_{00}=-1$,$g_{11}=1$,$g_{22}=1$,$g_{33}=1$und andere Einträge Null, aber in der Allgemeinen Relativitätstheorie gibt es viele Optionen.

In der klassischen allgemeinen Relativitätstheorie ist der einzige grundlegende Unterschied zwischen Raum und Zeit der Unterschied im Vorzeichen der Eigenwerte des metrischen Tensors.

Wenn wir nun eine Raumzeit mit einer Punktmasse haben, dann haben wir die Schwarzschild-Metrik , gegeben durch:

$$\begin{equation} ds^2=-\left(1-\frac{2GM}{c^2r}\right)c^2 dt^2 + \left(1-\frac{2GM}{c^2r}\right)^{-1}dr^2 + r^2(d\theta^2+\sin^2 \theta d\phi^2), \end{equation}$$ Wo $M$ist Masse.

Die Distanz$r_s=2GM/c^2$heißt Schwarzschild-Radius. Wenn Masse in seinem Schwarzschild-Radius enthalten ist, ist es ein Schwarzes Loch mit Ereignishorizont (Punkt ohne Wiederkehr) in der Ferne$r_s$.

Beachten Sie nun, dass sich Koeffizienten in Metriken multiplizieren$dt^2$Und$dr^2$Zeichen wechseln wann$r$kleiner wird als$r_s$. Das bedeutet, dass in gewisser Weise radiale und zeitliche Koordinaten ihre Rolle als Raum- und Zeitkoordinaten vertauscht haben!

Das bedeutet auch$r$wird für unglückliche Raumfahrer, die den Ereignishorizont überschritten haben, unweigerlich kleiner werden, genau wie z$t$wird in der flachen Raumzeit für jeden unweigerlich größer. Das Zentrum des Schwarzen Lochs hört auf, etwas "dort drüben" zu sein, sobald Sie den Horizont überquert haben, es wird buchstäblich zu Ihrer Zukunft.