Stanford: "Objekte in der Raumzeit bewegen sich alle mit konstanter Geschwindigkeit ccc." Haben sie Recht? [Duplikat]

Ja, diese Aussage ist wahr, in dem Sinne, dass die Vierergeschwindigkeit$u^\mu = (\gamma, \gamma \vec{v})$immer zufrieden

$$u^\mu u_\mu = 1$$ wie Sie anhand der Definition von überprüfen können $\gamma$. (Ich stelle ein $c=1$.) Daher ist der Betrag der Vierergeschwindigkeit immer gleich der Lichtgeschwindigkeit.

---

Diese Aussage kann jedoch wirklich irreführend sein. Es ist wahr, dass ein ruhender Körper "alle seine vier Geschwindigkeiten entlang der Zeitrichtung zeigt", dh

$$u^t = 1 \text{ and } u^x = u^y = u^z = 0.$$ Aber wenn Quellen schlampig sind, wie die von Ihnen verlinkten Vorlesungsnotizen, implizieren sie, dass Sie einen Teil Ihrer "Geschwindigkeit durch die Zeit" "eintauschen", um "Geschwindigkeit durch den Raum" zu erhalten. Tatsächlich, wenn du Geschwindigkeit durch den Raum erlangst, $u^x > 0$, wir haben $u^t > 1$, sodass räumlich bewegte Objekte schneller durch die Zeit gehen. Pro Tick auf ihrer Stoppuhr vergeht eine längere Zeit.

Ja, aber per Definition. Nicht durch eine sinnvolle Physik.

Stellen Sie sich einen Weg durch den 3-Raum vor. Sie können den Pfad durch eine Zeitfunktion definieren, die eine Position zurückgibt.${\bf f}(t)=(x(t),y(t),z(t))$. Dann ist die Geschwindigkeit als Funktion der Zeit${\bf v}(t)={\bf f}'(t)$. Einfach.

Sie könnten dasselbe durch 4-Leerzeichen tun, indem Sie einen Pfad beschreiben, der durch eine andere Variable parametrisiert ist.${\bf f}(k)=(t(k),x(k),y(k),z(k))$. Dies ist nützlich, wenn Sie beispielsweise einen konstanten Beschleunigungspfad beschreiben möchten.${\bf f}(k)=(\sinh(k),\cosh(k),0,0)$ist ein Weg mit konstanter Eigenbeschleunigung! (c=1) Das ist also keine dumme oder nutzlose Sache.

Aber offensichtlich,${\bf f}(k)=(2k,0,0,0)$Und${\bf f}(k)=(k,0,0,0)$sollte den gleichen Weg beschreiben. Sie sind unterschiedliche Parametrisierungen desselben Pfades durch die Raumzeit. Wir kümmern uns nicht wirklich um die Größenordnung${\bf f}'(k)$. Es enthält keine Physik.

Um also die nutzlosen Informationen zu verwerfen, normalisieren wir sie. Wir multiplizieren${\bf f}'(k)$durch eine Zahl, so dass$t'(k)^2-x'(k)^2-y'(k)^2-z'(k)^2=1$. (Dieser + - - - Deal ist das Herzstück der speziellen Relativitätstheorie). Und das ist der Ausdruck, dass "die Vierergeschwindigkeit eines Teilchens, das sich durch die Raumzeit bewegt, immer die Lichtgeschwindigkeit ist". Durch dieses "Multiplizieren mit einer Zahl" erhalten Sie die "${\bf u}=(\gamma, \gamma \vec{v})$"Formel in Knzhous Beitrag.

Es ist eine Wahl. Eine sehr natürliche Wahl, aber eine Wahl. Physiker wie Brian Greene wissen, dass es viele Möglichkeiten gibt, die Realität zu beschreiben, und manchmal machen sie es im Interesse guter populärwissenschaftlicher Texte nicht deutlich, wenn sie etwas als gültige Beschreibung der Realität beschrieben haben Universum oder die gültige Beschreibung des Universums. Sie könnten die dumme Entscheidung treffen, die Vierergeschwindigkeit auf die doppelte Lichtgeschwindigkeit zu normalisieren, und dann das Lehrbuch schreiben, das Sie schreiben könnten: „Objekte in der Raumzeit bewegen sich alle mit konstanter Geschwindigkeit$2c$", wobei ich mit "Geschwindigkeit" "Größe der Vierergeschwindigkeit" meine. Wenn Sie dies tun würden, würden Ihnen alle Ihre Berechnungen die gleiche Physik liefern.

[bearbeiten]

Es gibt einige Diskussionen in den Kommentaren, also lassen Sie mich eine genaue Version meiner Aussage vorschlagen. Was ich wirklich versuche zu sagen ist:

Kein Experiment kann die Größe eines Tangentenvektors an eine Kurve im Vierraum finden. Nur die Richtung zählt. Daher ist die Normalisierung eine Wahl.

dh Sie befinden sich im Vierraum. (Zeit und drei räumliche Dimensionen). Sie haben eine Kurve, eine Reihe von Punkten in diesem Vierraum. Eine Tangente zu dieser Kurve sollte die Geschwindigkeit sein, aber die Größe einer gegebenen Tangente hat keine physikalische Bedeutung. (Die Eigenschaft, zeitähnlich, raumähnlich oder lichtähnlich zu sein, ist bei Skalarmultiplikation unveränderlich. Die Drei-Geschwindigkeit, die Sie aus der Vier-Geschwindigkeit berechnen, wird bei Skalar-Multiplikation der Vier-Geschwindigkeit unveränderlich sein). Es ist eine bequeme Wahl, es in Einheitslänge zu machen.