Warum bewegen sich ruhende Objekte mit Lichtgeschwindigkeit durch die Raumzeit?

Erstens die Tatsache, dass ein Objekt in Ruhe Energie hat$mc^2$ist eine einfache Frage der Dimensionsanalyse. Wenn Sie akzeptieren, dass Energie und Masse zusammenhängen, und Sie wissen, dass die Natur eine natürliche Geschwindigkeit hat$c$, dann$E=mc^2$ist das Einfachste, was man schreiben kann, um dies zu beschreiben. Die einzige Komplikation könnte ein numerischer Faktor gewesen sein$m$.

Nun muss die Aussage über das Reisen durch die Zeit „mit Lichtgeschwindigkeit“ relativiert werden. Sie können leicht erkennen, dass es keinen Sinn macht, wenn Sie gewöhnliche Definitionen verwenden: Die Lichtgeschwindigkeit wird in „Länge pro Zeit“ gemessen, während eine „Geschwindigkeit durch die Zeit“ in „Zeit pro Zeit“ gemessen würde, was nur a ist Nummer.

Wir können dieser Aussage jedoch einen Sinn geben. Wir stellen uns einen Beobachter vor, der einen Weg durch die Raumzeit verfolgt. Um einen Punkt auf diesem Pfad zu bezeichnen, verwenden wir eine einzelne Koordinate, die wir nennen$\tau$. Der Pfad wird durch die Funktionen definiert$t(\tau)$und$x(\tau)$: für jeden Wert von$\tau$Der Beobachter befindet sich an einem bestimmten Ort$x$zu einer bestimmten Zeit$t$.

Beachten Sie das bisher$\tau$ist keine Zeit: Es ist nur eine fiktive Koordinate, die wir verwenden, um Punkte auf dem Weg zu bezeichnen. Ich musste nicht einmal angeben, in welchen Einheiten wir es messen.

Nehmen wir an, wir messen$\tau$in Sekunden. Wir können jetzt einen 'Geschwindigkeitsvektor' definieren$u$durch die Raumzeit, das ist die Geschwindigkeit, mit der$t$und$x$ändern, wenn wir uns ändern$\tau$:

$$u=\left(c \frac{dt}{d\tau},\frac{dx}{d\tau}\right).$$ Beachten Sie, dass ich a geschlichen habe $c$drin, um sicherzugehen $u$hat Geschwindigkeitseinheiten.

Die erste Komponente von$u$ist eine schöne Definition unserer Geschwindigkeit durch die Zeit. Die zweite Komponente ist eine Möglichkeit, die Geschwindigkeit durch den Raum zu messen, aber sie ist nicht die gleiche wie die Geschwindigkeit, an die wir normalerweise denken$\frac{dx}{dt}$.

Jetzt kommt ein sehr schönes mathematisches Theorem, das besagt, dass wir immer Werte von zuweisen können$\tau$zu Punkten auf dem Pfad, so dass$|u(\tau)|=c$an jedem Punkt. Mit dieser Wahl von$\tau$, unsere 'Geschwindigkeit'$u$ist eine Konstante, gleich der Lichtgeschwindigkeit: Egal, ob wir stillstehen oder uns sehr schnell bewegen, unsere Geschwindigkeit durch die Raumzeit ist dieselbe. Wenn wir still sitzen, bedeutet das nur, dass wir uns in der Zeitrichtung „schneller bewegen“. Wenn wir uns sehr schnell bewegen (gemäß der üblichen Definition von Bewegung ...), ist unsere Geschwindigkeit in Zeitrichtung kleiner, um dies zu kompensieren. Unsere einzige Wahl ist, wohin wir unsere Geschwindigkeit richten: ein bisschen mehr in die Zeitrichtung oder ein bisschen mehr in die Raumrichtung.

Ich denke, das ist ein sehr schönes Bild, aber es ist auch ein bisschen irreführend. Da$\tau$eine fiktive Koordinate ist, gibt es viele Möglichkeiten dafür und sie sind alle gleich gut. Wir hätten genauso gut wählen können$|u(\tau)|=2c$, oder$|u(\tau)|$nicht einmal konstant. Denken Sie also daran, dass dies alles eine Frage der Konvention ist.

Ich habe gelesen, dass ein ruhendes Objekt eine so erstaunliche Menge an Energie hat,$E=mc^2$weil es sich effektiv mit Lichtgeschwindigkeit durch die Raumzeit bewegt und mit fortschreitender Zeit mit 1 Sekunde pro Sekunde durch die Zeitdimension der Raumzeit reist.

Das ist falsch.

Was mich hier stört, ist die Tatsache, dass es mit Lichtgeschwindigkeit durch die Raumzeit reist. Warum ist es mit Lichtgeschwindigkeit?

Es ist nicht. Diese Idee scheint etwas zu sein, das der Popularisierer Brian Greene auf der Welt verübt hat. Objekte bewegen sich nicht durch die Raumzeit. Objekte bewegen sich durch den Raum. Wenn Sie ein Objekt in der Raumzeit darstellen, haben Sie eine Weltlinie. Die Weltlinie bewegt sich nicht durch die Raumzeit, sie erstreckt sich einfach über die Raumzeit.

Greenes Darstellung davon scheint aus seinem Gefühl zu stammen, dass die Größe des Geschwindigkeitsviervektors eines massiven Teilchens traditionell auf eine Größe normalisiert wird$c$Es macht Sinn, das Teilchen, einem nicht-mathematischen Publikum, als „sich durch die Raumzeit bewegend“ zu beschreiben$c$. Das ist einfach ungenau. Ein guter Weg, um zu sehen, dass es ungenau ist, ist zu beachten, dass ein Lichtstrahl nicht einmal einen Vierervektor hat, der auf diese Weise normalisiert werden kann. Jeder Tangentenvektor an die Weltlinie eines Lichtstrahls hat eine Größe von Null, also können Sie ihn nicht vergrößern oder verkleinern, um ihm eine Größe von zu geben$c$. Der Konsistenz halber müsste Greene vermutlich sagen, dass sich ein Lichtstrahl mit einer Geschwindigkeit von Null „durch die Raumzeit bewegt“, was offensichtlich ziemlich albern ist.

Der Grund, warum wir Geschwindigkeits-Vier-Vektoren für massive Teilchen normieren, ist, dass die Länge eines Tangentenvektors keine zwingende physikalische Interpretation hat. Je zwei parallele Tangentenvektoren stellen ein Teilchen dar, das sich mit derselben Geschwindigkeit durch den Raum bewegt. Da die Länge keine Rolle spielt, können wir sie genauso gut willkürlich auf einen Wert setzen. Wir könnten es gut auf 1 setzen, was natürlich der Wert von ist$c$in relativistischen Einheiten. Aber diese Normierung ist in allen Fällen optional und für masselose Teilchen unmöglich.

Die Gesamtgeschwindigkeit eines Objekts durch die Raumzeit, seine Vierergeschwindigkeit, hat eine Komponente in jeder Dimension der Raumzeit (4). Die vier Koordinaten, die ein Objekt in der Raumzeit hat, sind also

$$x= \left( \begin{array}{ccc} ct \\ x^{1}(t) \\ x^{2}(t) \\ x^{3}(t)\end{array} \right)$$ Für die drei Dimensionen des Raums sehen wir, dass dies nur die Positionen als Funktionen der Zeit sind, gemessen durch den Beobachter, in dessen Bezugssystem wir uns bewegen. Oben sehen wir eher ct als t . Wieso den? Nun, t wird in Zeiteinheiten gemessen, aber wir brauchen Längeneinheiten, um das Konzept der Raumzeit zu verstehen. Alternativ können wir unsere Positionen in Zeiteinheiten umrechnen, indem wir durch c dividieren . Dies wird oft in der Astronomie gemacht, weil die Entfernungen so groß sind (z. B. Lichtjahre, Lichtsekunden usw.).

Um nun die Vierergeschwindigkeit zu finden, differenzieren wir jeden Term in Bezug auf die Eigenzeit. Dies ähnelt der Art und Weise, wie Sie die Geschwindigkeit in der klassischen Physik finden - wenn die Position eines Objekts durch 2t gegeben ist, dann hat es eine Geschwindigkeit von 2. Beachten Sie jedoch, dass wir die Eigenzeit verwenden.$\tau$. Das normale t , das aufgetaucht ist, ist die Zeit, die von jedem Beobachter gemessen wird, der diese Koordinaten aufzeichnet, während$\tau$ist die Zeit, die auf einer Uhr gemessen wird, die von unserem sich bewegenden Beobachter gehalten wird. Um also die vier Geschwindigkeiten zu finden, verwenden wir diese

$$\mathbf U = \frac {dx} {d\tau}$$ Wobei x der obige Vektor ist, der alle Koordinaten enthält. Unter Verwendung der Tatsache, dass die Zeit, wie sie von unserem Beobachter gemessen wird, der die Koordinaten aufzeichnet, durch den Lorentz-Faktor mit der Eigenzeit des sich bewegenden Beobachters in Beziehung steht, können wir schreiben $ct = \gamma c\tau$Differenziert wird dies bzgl $\tau$, finden wir, dass die Geschwindigkeit in Zeitrichtung ist $c\gamma$. Wenn unser 'bewegter' Beobachter gegenüber dem Messenden in Ruhe ist, dann $\gamma = 1$. Die Geschwindigkeit in Zeitrichtung ist also gleich c , der Lichtgeschwindigkeit.

Wir sehen das für einen sich bewegenden Beobachter,$\gamma$größer als eins ist, was zu einer größeren Geschwindigkeit durch die Zeit führt. Dies mag kontraintuitiv erscheinen, da sich bewegende Beobachter weniger Zeit verstreichen lassen. Eine intuitive Art, darüber nachzudenken, ist jedoch die folgende: Die Geschwindigkeit durch den Raum ist die Entfernung, die Sie in einer bestimmten Zeit zurücklegen können. Die Geschwindigkeit durch die Zeit ist also die Zeit, die Sie in einer gewissen Eigenzeit im Referenzrahmen einer Person verstreichen lassen können . Ein Beobachter, der sich mit enormer Geschwindigkeit bewegt, wird sehr wenig Eigenzeit aufzeichnen, aber ein Beobachter, in Bezug auf den er sich bewegt, wird feststellen, dass er eine enorme Zeit braucht, um seine Reise zu beenden. Unser Beobachter „reiste“ also in einer kleinen Eigenzeit eine sehr große Strecke durch die Koordinatenzeit des Beobachters, der die Messungen durchführt, daher eine höhere Geschwindigkeit durch die Zeit.

Ja, die zeitähnliche Komponente der Vierergeschwindigkeit eines stationären Objekts ist$c$. Es ist auch richtig, dass sich "alles mit Lichtgeschwindigkeit durch die Raumzeit bewegt" - das bedeutet nur, dass die Größe der Vierergeschwindigkeit ist$c$(oder besser gesagt 1), und seine Richtung ändert sich ständig (beachten Sie, dass die Transformation hier nicht wirklich eine Drehung ist, sondern eine Schräglage/Verstärkung, da das Minkowski-Punktprodukt berechnet wird), wenn der Vektor auf einer unveränderlichen Hyperbel gleitet ( ähnlich wie Rotationen auf einem unveränderlichen Kreis gleiten). Dies ist keine Frage der Konvention - ja, Sie können andere Parametrisierungen für die Weltlinie wählen, aber sie erfüllen nicht die schöne Eigenschaft, gleich der Koordinatenzeit zu werden, wenn$v=0$.

Beachten Sie, dass die andere Behauptung – dass die Ruheenergie eine kinetische Energie durch die Zeit ist – falsch ist. Das ist trivialerweise offensichtlich, wenn man bedenkt, dass sich alles bewegt$c$durch die Raumzeit und die kinetische Energie, die mit einer räumlichen Geschwindigkeit von verbunden ist$c$ist unendlich.

Kinetische Energie wird in der speziellen Relativitätstheorie nicht am besten als "Bewegungsenergie" interpretiert, sondern als Teil des Impulses in Zeitrichtung. Dies hilft Ihnen zu erkennen, dass kinetische Energie die Symmetrie zwischen Raum und Zeit überhaupt nicht bricht, es ist nur so, dass der Zeitimpuls durch eine Größe namens "kinetische Energie" bei einem Lorentz-Schub erhöht wird.

Wenn Sie "Geschwindigkeit durch die Raumzeit" als die pythagoräische Summe der Geschwindigkeit durch die Zeit (Verhältnis der Eigenzeit zur Koordinatenzeit) und der Geschwindigkeit durch den Raum definieren, dh$\sqrt{(\dfrac{c\Delta\tau}{\Delta t})^2+(\dfrac{\Delta x}{\Delta t})^2}$, dann ja, jedes Objekt im Universum hat eine Raumzeitgeschwindigkeit von c (Lichtgeschwindigkeit), da diese Summe für alle Objekte gleich c ist.

$$\sqrt{(\dfrac{c\Delta\tau}{\Delta t})^2+(\dfrac{\Delta x}{\Delta t})^2}=c$$ (bei Interesse siehe Beweis unten)

Wenn also die Raumzeitgeschwindigkeit auf diese Weise definiert ist, dann ja, alle Objekte, ob sie ruhen oder sich durch den Raum bewegen, bewegen sich alle mit Lichtgeschwindigkeit durch die Raumzeit.

Nun scheinen viele Kommentatoren hier Einwände gegen diese Definition der Raumzeitgeschwindigkeit zu erheben. Aber Definitionen sind nicht wahr oder falsch. Definitionen sind nützlich oder nicht nützlich. Sie können sagen, dass Ihnen diese Definition der Raumzeitgeschwindigkeit nicht gefällt, aber Sie können nicht sagen, dass sie falsch ist.

Siehe das wunderbare Buch Relativity Visualized von Lewis Epstein. Er erklärt das alles sehr gut.

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Nachweis der obigen Beziehung,

Das Raumzeitintervall für die spezielle Relativitätstheorie ist gegeben durch

$$c^2\Delta t^2-\Delta x^2=c^2\Delta \tau^2$$ Wo$\Delta \tau$ist die vom sich bewegenden Objekt gemessene Eigenzeit. Wenn wir also neu anordnen, erhalten wir, $$c^2\Delta t^2=c^2\Delta \tau^2+\Delta x^2$$ $$c^2=(\dfrac{c\Delta\tau}{\Delta t})^2+(\dfrac{\Delta x}{\Delta t})^2$$ $$c=\sqrt{(\dfrac{c\Delta\tau}{\Delta t})^2+(\dfrac{\Delta x}{\Delta t})^2}$$

Die Geschwindigkeit einer Masse durch die Raumzeit ist

$${\eta}^{\mu}=\frac{dx^{\mu}}{d \tau}$$

wo$d\tau=\frac{dt}{\gamma}$, und natürlich,$\gamma=\frac {1}{{\sqrt{1-{\frac{v^2}{c^2}}}}}.$Wir gebrauchen$d\tau$Anstatt von$dt$, weil dies eine Invariante bzgl. Lorenztransformationen ist.

Jetzt,

$$\eta^0=\frac{dx^0}{d\tau}=\gamma c,$$

Also

$$\eta^{\mu}=\gamma(c,v_x,v_y,v_z).$$

Es folgt dem

$$\eta_{\mu}\eta^{\mu}={\gamma}^2(c^2-{v_x}^2-{v_y}^2-{v_z}^2)=c^2,$$

eine Invariante. Also der absolute Wert von$\eta^{\mu}$ist immer gleich c. Wenn die Masse die (Raum-)Geschwindigkeit Null hat (die Masse steht still), ist die Geschwindigkeit durch die Zeit gleich$c$, und Photonen, die nur mit Geschwindigkeit durch den Raum reisen$c$. Zwischen diesen beiden Extremen besteht die Vierergeschwindigkeit aus einem Teil, der sich durch die Zeit bewegt, und einem Teil, der sich durch den Raum bewegt.

Wie in der vorherigen Antwort erläutert, scheint die Geschwindigkeit der Zeit größer zu sein, wenn sich die Masse durch den Weltraum bewegt, aber dies ist auf die Verwendung zurückzuführen$d\tau$.

In der ersten Antwort ist zu lesen:

Es ist nicht. Diese Idee scheint etwas zu sein, das der Popularisierer Brian Greene auf der Welt verübt hat. Objekte bewegen sich nicht durch die Raumzeit. Objekte bewegen sich durch den Raum. Wenn Sie ein Objekt in der Raumzeit darstellen, haben Sie eine Weltlinie. Die Weltlinie bewegt sich nicht durch die Raumzeit, sie erstreckt sich einfach über die Raumzeit.

Ich glaube, Sie haben Greene nicht sehr gut verstanden, und er hat "die Welt" nicht verübt.

„Eingefrorene“ Wortzeilen, Blockzeit , war ein Konzept von Einstein und anderen („die Unterscheidung zwischen Vergangenheit, Gegenwart und Zukunft ist eine hartnäckig anhaltende Illusion“, ergänzt durch Weyls Kommentar , den man auf Seite 101 in 2.7 zum Block lesen kann Abschnitt Universum im Link zu Weyls Kommentar, den ich gemacht habe), was impliziert, dass ein Objekt auch nicht durch den Raum reisen kann. Ein Teilchen kann sowohl durch den Raum als auch durch die Zeit reisen (thermodynamische Zeit). Die kombinierten Geschwindigkeiten bilden die Weltlinie, die sich entwickelt, während sich das Universum entfaltet.