Was ist die Definition von Einheitsvektor?

Ein Einheitsvektor hat einen Betrag$1$- wie in der dimensionslosen Zahl$1$. Nicht$1\ \mathrm{cm}$oder$1\ \mathrm{kg}$oder$1\ \mathrm{N}$oder$1\ \mathrm{J}$. Es ist auch nicht schwer, dies für jeden Vektor zu zeigen$\vec A$, die Abmessungen von$\vec A$Und$\vert \vec A \vert$sind gleich.

Ich denke, Ihre Verwirrung liegt im Wort "Einheit". In der Definition des Einheitsvektors „Ein Einheitsvektor ist jeder Vektor, dessen Größe 1 Einheit beträgt“ bezieht sich das Wort nicht wirklich auf Einheiten wie Meter und Sekunde. Es bedeutet vielmehr nur '1' und könnte übersprungen werden.

Ein echter Einheitsvektor hat keine physikalische Dimension (wie Kraft), sondern nur eine Richtung.

Wenn$\vec{F}$ein physikalischer Vektor (zB eine Kraft) ist, dann$|\vec{F}|$ist seine Größe und hat die gleiche physikalische Dimension (z. B. Kraft) und$\hat{u} = \vec{F}/|\vec{F}|$ist ein Einheitsvektor ohne physikalische Dimension.

$(1,0,0)={(2,0,0)\over2}$. Gemäß Ihrem Namensschema ist die linke Seite kein Einheitsvektor, die rechte Seite jedoch. Dies scheint ein Problem zu sein.

Übrigens, wann immer$(x,y,z)$Länge hat$1$, Dann$(x,y,z)={(x,y,z)\over 1}$beides ist und ist kein Einheitsvektor. Hoppla!

In vielen Lehrbüchern der Physik wird der Einheitsvektor folgendermaßen definiert : „Ein Einheitsvektor ist jeder Vektor, dessen Größe 1 Einheit ist“.

Ja, das ist die Definition des Einheitsvektors. Ich kann mich nicht erinnern, andere Definitionen gesehen zu haben.

Ist meine Definition des Einheitsvektors korrekt ?

Sie haben eigentlich keine Definition gegeben, es sei denn, Sie beziehen sich auf diese Formel:

$$\hat{u} = \frac{\vec{A}}{|\vec{A}|}$$

Diese Formel entspricht jedoch der obigen Definition, wie unten gezeigt.

Einerseits ist es üblich, eine Notation für Einheitsvektoren zu verwenden (z. B. einen Hut,$\hat{u}$) anders als für Vektoren im Allgemeinen (normalerweise ein Pfeil,$\vec{A}$).

Ja, wenn wir wissen , dass ein Vektor ein Einheitsvektor ist, können wir eine andere Notation verwenden, um diese zusätzlichen Informationen zu übermitteln. Aber wir müssen nicht .

Wir könnten einen Vektor haben$\vec{A}$in einer Übung oder einem Problem und stellen Sie am Ende fest, dass es eine Größe von 1 Einheit hat. Würde$\vec{A}$ein Einheitsvektor sein?

Ja, es wäre ein Einheitsvektor. Wir könnten nicht sagen , dass es ein Einheitsvektor ist; das spielt keine Rolle.

Ich denke, dass Einheitsvektoren als Folge der Normalisierung eines anderen Vektors entstehen$\vec{A}$, das heißt, indem man es durch seine Größe dividiert,

$$\hat{u} = \frac{\vec{A}}{|\vec{A}|}$$

sodass wir einen Vektor erhalten$\hat{u}$mit nur Vektor$\vec{A}$'s Richtungsinformationen.

Je nach Einheiten können wir an dieser Stelle zwei Wege in Betracht ziehen:

1. Nehme an, dass$|\vec{A}|$hat die gleichen Einheiten wie$\vec{A}$. Dann$\hat{u}$ist eine dimensionslose Größe.

2. Nehme an, dass$|\vec{A}|$ist dimensionslos. Dann$\hat{u}$hat die gleichen Einheiten wie$\vec{A}$.

Ich denke, die erste Option ist diejenige, die normalerweise verwendet wird.

Es ist keine Wahl.$|\vec{A}|$ hat die gleiche Dimension wie$\vec{A}$, per Definition.$|\vec{A}|$kann nur dimensionslos sein, wenn$\vec{A}$selbst ist dimensionslos.

Das sagst du eigentlich selbst:$\hat{u}$hat „nur Vektor$\vec{A}$Richtungsinformationen“. Das bedeutet, dass$\hat{u}$ist dimensionslos.

Nur um die Antwort von J. Murray zu erweitern: Jeder Einheitsvektor ist ein Vektor, aber nicht jeder Vektor ist ein Einheitsvektor. Wenn Sie also die "Hut" -Notation verwenden, um Einheitsvektoren anzugeben, ist es in Ordnung zu schreiben$\hat u = \vec u = \vec e_u = \hat e_u = \ldots$. Wenn wir also eine Kraft der Größe 1N betrachten, die in die zeigt$x$-Richtung, schreiben wir$\vec F = F \cdot \hat x = 1N \;\hat x = 1N \;\vec e_x$, Wo$\vec e_u$der Einheitsvektor ist, nicht$\vec F$.

Ihr Problem ist im Grunde die Interpretation.

Definition des Einheitsvektors:

Also unit vectorist a ein mathematisches Objekt, das sich von a unterscheidet vector of length 1 [UNIT], sei es Meter, Newton, was auch immer. Dies liegt daran, dass der per Definition keine physikalischen Einheitenunit vector hat , da er durch das Verhältnis des Vektors zu seiner Norm gegeben ist (und Vektor und Norm immer die gleichen physikalischen Einheiten haben).

Daher können Sie jeden Vektor immer in Form eines beliebigen Einheitsvektors schreiben, ohne dass Sie die physikalischen Einheiten der Größen, die sie darstellen, herausfinden müssen.

Angenommen, Sie haben eine Kraft$\vec{F}=[3\hat{x}+4\hat{y}]$Newton. Und Sie möchten, dass sich ein Teilchen mit einer Geschwindigkeit von 10 m/s in die gleiche Richtung wie bewegt$\vec{F}$. Sie könnten es in Bezug auf die Basiseinheitsvektoren darstellen ,$\hat{x}$Und$\hat{y}$, indem Sie das Skalarprodukt ausführen, ABER SIE MÜSSEN ES NICHT TUN .

Einfach schreiben,

Dies ist wiederum möglich, weil dem Einheitsvektor per Definition keine physikalische Einheit zugeordnet ist. Es ist also sehr wichtig, es von zu trennen vectors of length 1 [unit].

Die einzige Bemerkung hier ist, dass, wenn Sie ableiten möchten$\vec{v}$in Form des Einheitsvektors geschrieben$\vec{F}/|\vec{F}|$, Und$\vec{F}$nicht konstant ist, müssen Sie ableiten$\vec{F}$sowie. Dies ist besonders wichtig, wenn Sie Ihr Problem in einem rotierenden Bezugsrahmen darstellen.