Ist die Lorentzkraft ein Vektorfeld oder nur ein Vektor?

@rushinc1 hätte es fast geschafft.

Die Lorentzkraft ist leider kein Vektorfeld im normalen Sinne (also eine glatte Abbildung von$(\vec r: \mathbb R^3, t : \mathbb R) \to \mathbb R^3$), wie Sie an der expliziten Anwesenheit von sehen können$\vec v$in seiner Definition: Sie müssen die Geschwindigkeit des Teilchens kennen, um die magnetische Kraft darauf zu berechnen, und diese Information ist nicht nur in dieser Information darüber enthalten, wo und wann die Lorentzkraft ausgewertet wird.

Es ist leider auch kein 2-Tensor-Feld im normalen Sinne, da seine Transformation eines Geschwindigkeitsvektors in diesen Geschwindigkeitsvektor nicht linear ist (es ist eine Art affine Transformation, weil die$\vec E$Teil ist eine Art feste Konstante).

In der speziellen Relativitätstheorie wird es jedoch zu einem antisymmetrischen 2-Tensorfeld auf dem Raum von 4-Vektoren; Das Vorhandensein der zusätzlichen Zeitkomponente im Geschwindigkeits-4-Vektor gibt dem Tensor einen perfekten Ort, um die zu injizieren$\vec E$Feld neben dem$\vec B$Feld. Sie erhalten den antisymmetrischen 2-Tensor$\partial_\alpha A_\beta - \partial_\beta A_\alpha$(Wo$A^\mu$ist das Standard-4-Vektor-Potential) als perfekt lineare Transformation einer Vierer-Geschwindigkeit$U^\mu$zu einer Vierer-Stärke$dp^\nu/d\tau,$was es zu einem klaren 2-Tensor macht.

Dann wird es in der Allgemeinen Relativitätstheorie wieder etwas komplizierter, da es viele Verbindungen gibt$\partial_\alpha$zur Auswahl stehen, wenn wir sie auf Vektoren anwenden, aber der Punkt ist, dass in gewisser Weise alles, was aus wohldefinierten 4-Operatoren gemacht werden kann, ein 4-Tensor sein kann.

Mathematisch gesehen ist ein Vektorfeld nur eine vektorwertige Funktion von Raumzeitkoordinaten. Dadurch können wir unabhängig von dem Objekt, auf das sie einwirkt, über die Quelle einer Kraft sprechen.

Um die Lorentz-Kraft auf ein einzelnes (dh "Test") Teilchen zu beschreiben, müssen Sie sowohl seine Position als auch seine Geschwindigkeit (sowie natürlich seine Ladung) kennen. Sie können die Kraft nicht durch eine Geschwindigkeitseinheit ("Test") teilen, da die Geschwindigkeit selbst ein Vektor ist. Ich nehme an, man könnte bestenfalls ein Lorentz-Tensorfeld aufbauen, das einem ähnlichen Zweck dient, aber zu versuchen, die Lorentz-Kraft über ein Vektorfeld zu beschreiben , ist unsinnig.

Nun, davon abgesehen, wenn Sie eine Sammlung von Partikeln (wie eine Flüssigkeit) haben, die den gesamten Raum ausfüllen, und Sie jedem Punkt im Raum zu jeder Zeit einen Geschwindigkeitsvektor zuweisen können, dann können Sie so etwas wie ein Lorentz-Vektorfeld erzeugen. Dies ist jedoch eher ein technischer Trick zur Lösung von Problemen der Fluiddynamik, und ich persönlich würde es nicht als Vektorfeld im gleichen Sinne wie die Schwerkraft oder das elektromagnetische Feld betrachten.

Im klassischen Elektromagnetismus ist die Lorentzkraft nur ein Vektor und KEIN Vektorfeld. Es kann jedoch als Tensorfeld definiert werden , und genau das wurde bei der Behandlung des relativistischen Elektromagnetismus verwendet.

Ein Vektorfeld ist eine Funktion, die eine zuweist$n$Dimensionsvektor zu jedem Punkt in einem$n$dimensionaler Raum. Die Lorentz-Kraft kann nicht durch ein solches Feld definiert werden, da wir Informationen über zwei benötigen $n$Dimensionsvektoren ($\mathbf{E}$Und$\mathbf{B}$) für eine vollständige Beschreibung der Kraft.

Wenn auch relativistische Effekte berücksichtigt werden, kann die Lorentzkraft durch die Gleichung eindeutig definiert werden

Hier$F^{\alpha\beta}$ist der elektromagnetische Tensor , der als eine Art "Lorentz-Feld" angesehen werden kann.