Warum wird das Magnetfeld nicht durch die Magnetkraft auf ein Teilchen definiert, das sich durch es bewegt?

Um eine konkrete Situation darzustellen, stellen Sie sich einen Hufeisenmagneten und eine Ladung vor, die sich zwischen den Polen bewegt.

Wenn Sie die Kraft messen$\vec{F}$auf Anklage handeln$q$Sie bewegen sich mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten durch dieses Magnetfeld$\vec{v}$(zB im$+x$,$-x$,$+y$,$-y$,$+z$,$-z$Richtung), dann erhalten Sie die folgenden Versuchsergebnisse . Beachten Sie besonders die$+$Und$-$Zeichen.

$$\begin{array}{|ccc|ccc|} \hline v_x & v_y & v_z & F_x & F_y & F_z \\ \hline +v & 0 & 0 & 0 & -qvB & 0 \\ -v & 0 & 0 & 0 & +qvB & 0 \\ 0 & +v & 0 & +qvB & 0 & 0 \\ 0 & -v & 0 & -qvB & 0 & 0 \\ 0 & 0 & +v & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -v & 0 & 0 & 0 \\ \hline \end{array}$$

Alle diese oben genannten Ergebnisse können wie folgt zusammengefasst werden:

$$\begin{align} F_x &= +qv_yB \\ F_y &= -qv_xB \\ F_z &= 0 \end{align}$$

Beachten Sie, dass wir bisher noch keine Aussage darüber getroffen haben, wie die Richtung des Magnetfelds definiert werden soll$\vec{B}$.

Meine Frage ist also: Warum definieren wir unser Magnetfeld nicht einfach als Vektorfeld, das die Richtung (und Größe) der Magnetkraft ist, die ein Teilchen an einem bestimmten Ort erfährt?

Wenn man sich die obigen Ergebnisse ansieht, gibt es einfach keine Möglichkeit, dies zu tun. Sie können sich keinen Magnetfeldvektor ausdenken$\vec{B}$immer die gleiche Richtung wie die Kraft haben$\vec{F}$.

Das Beste, was Sie erreichen können, ist, das Obige mit Hilfe des Kreuzprodukts umzuschreiben .

$$\begin{pmatrix}F_x \\ F_y \\ F_z \end{pmatrix} = q \begin{pmatrix}v_x \\ v_y \\ v_z \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ B \end{pmatrix}$$

Sie haben also einen Vektor erhalten$\vec{B}$zeigt hinein$z$-Richtung (also senkrecht zu den Kräften$\vec{F}$).

Denn die Kraft, die das Teilchen erfährt, hängt nicht nur von seinem Ort ab, weder in der Größe noch in der Richtung.

Die Kraft hängt vom Ort des Teilchens ab und steht senkrecht zu seiner Geschwindigkeit. Wenn Sie also die Geschwindigkeitsrichtung ändern, ändert sich die Richtung der Kraft. Will man aber das Magnetfeld nur als Funktion der Position definieren, dann muss es an jedem Punkt eine feste Richtung haben und kann sich nicht ändern, nur weil sich die Teilchengeschwindigkeit geändert hat.

Anders ausgedrückt, Ihr magnetisches Kraftfeld könnte nicht so definiert werden, wie Sie es vorschlagen, weil es mehrwertig wäre - Teilchen können an jeder Position unterschiedliche Geschwindigkeiten haben und daher unterschiedliche Kräfte erfahren.

Der richtige Weg, einen sich ändernden Kraftvektor zu definieren, der immer senkrecht zur Geschwindigkeit steht, ist dann das Vektorprodukt der Geschwindigkeit mit einem anderen festen Vektor - dem Magnetfeld.

Das Magnetfeld an einem Punkt soll es Ihnen ermöglichen, die Kraft auf eine Einheit zu bestimmen, die sich an DIESEM Punkt bewegt.

Sie können ein Magnetfeld an einem Punkt nicht als "das Vektorfeld definieren, das die Richtung (und Größe) der magnetischen Kraft ist, die ein Teilchen an einem bestimmten Ort erfährt ", da die Richtung der Kraft von der Ladung und der Bewegungsvektor der Ladung.

Wenn Sie das Magnetfeld gemäß der Richtung der Magnetkraft auf ein bestimmtes geladenes Teilchen definieren, würde Ihnen das nicht leicht die Antwort darauf geben, welche Richtung die Kraft auf ein anderes geladenes Teilchen hätte, das sich in einem anderen Vektor bewegt.

Indem es so definiert wird, wie es definiert wurde, ist es einfacher, die Richtung der magnetischen Kraft auf jedes geladene Teilchen zu bestimmen, das sich in einem beliebigen Vektor bewegt

Eine sich bewegende Ladung erfährt jedoch eine Magnetkraft, die senkrecht zur Richtung ihres Magnetfelds und ihrer Geschwindigkeit steht. Meine Frage ist also: Warum definieren wir unser Magnetfeld nicht einfach als Vektorfeld, das die Richtung (und Größe) der Magnetkraft ist, die ein Teilchen an einem bestimmten Ort erfährt?

Sehr subtiler Punkt.

Sehen Sie, das Magnetfeld „entscheidet“ darüber, wie es das Teilchen schiebt, je nachdem, wie es eintritt und welche Ladung es hat. Lassen Sie uns die Gebühr zu beheben$1C$, also können wir den Ausdruck der Kraft schreiben als:

$$\vec{F} = \vec{v} \times \vec{B}$$

Nehmen wir nun an, dass wir unsere Koordinatenbasisvektoren so "drehen", dass die$\vec{B}$ist entlang einer unserer Achsen wie sagen wir gerichtet$\hat{k}$Dann:

$$\vec{F} = \vec{v} \times |B| \hat{k}$$

Oder,

$$\vec{F} = |B| ( \vec{v} \times \hat{k})$$

Und wir können die Geschwindigkeit dieses Teilchens schreiben als$v= v_x \hat{i} + v_y \hat{j} + v_z \hat{k}$, und daher ist die Kraft:

$$\vec{F} = (|B|) ( -v_x \hat{j} + v_y \hat{i})$$

Nun sehen wir, dass die Kraft an einem Punkt durch den Geschwindigkeitsvektor des Teilchens selbst bestimmt wird. Nehmen wir also die Geschwindigkeit an$j$Richtung Null war, dann würde das Teilchen nur eine Kraft erfahren$i$Richtung und ähnlich wenn Geschwindigkeit in$i$Richtung war damals Null$j$Richtung wäre die Kraft.

Letztendlich ist das Kreuzprodukt perfekt, weil es einfach ist, immer das zu sagen, was wir im wirklichen Leben am einfachsten sehen, nämlich dass die Kraft, die ein Teilchen erfährt, davon abhängt, in welche Richtung es sich bewegt.

Wenn ich auf den philosophischen Punkt eingehen würde, dann deshalb, weil die Kraft nicht nur durch die äußere Eigenschaft bestimmt wird, sondern auch, wie sich die innere Eigenschaft an der äußeren Eigenschaft ausrichtet