Unterschied zwischen einem Vektorfeld und einem Kraftfeld

Die Kraft wirkt auf jedes Element eines 3D-Objekts.

Nehmen Sie zum Beispiel ein geladenes 3D-Objekt. Die Gebühren können beliebig verteilt werden. Sie können einheitlich sein oder nicht. Eine Seite könnte positiv geladen sein, die andere negativ. Usw.

Dieses 3D-Objekt hat an jedem Punkt ein Ladungselement. (Genauer: in jedem infinitesimal kleinen Volumenelement.) Jedes Ladungselement erfährt die Kraft, die durch den Vektorfeldwert an der Stelle bestimmt wird. Die Kraft auf das Objekt ist die Vektorsumme all dieser Beiträge.

Es ist möglich, einen Punkt zu finden, der die Eigenschaft hat, dass die Translationsbewegung des Objekts so wirkt, als ob die gesamte Ladung auf dem Objekt an diesem Punkt konzentriert wäre. Man könnte es "Center of Charge" nennen, aber wie Sie betonen, hört man nicht oft von so etwas. Das heißt, nehmen Sie diese Ladung an diesem Punkt (was sich als Gesamtladung herausstellt ) und multiplizieren Sie sie mit dem Wert des elektrischen Feldvektors an diesem Punkt, und Sie erhalten die Kraft auf das Objekt als Ganzes.

Die Tatsache, dass es einen Punkt geben könnte, der als „wo die Kraft wirkt“, eine Folge der Summierung ist, ist nicht grundlegend und hat einige Einschränkungen. In gewisser Weise ist es eine Illusion. Es funktioniert nur, wenn Sie es sich leisten können, Ihr Objekt als Punktpartikel zu modellieren. Zum Beispiel können Sie es nicht verwenden, um das Drehmoment zu berechnen.

Stellen Sie sich vor, Ihr Objekt ist ein Würfel, der auf seiner „linken“ Hälfte gleichmäßig positiv geladen ist und auf seiner „rechten“ Hälfte gleichmäßig positiv geladen ist und eine Gesamtladung von Null hat. In einem gleichmäßigen elektrischen Feld wirkt keine Kraft auf das Objekt. Das "Center of Charge" wird haben$q=0$. Das gleiche Ergebnis erhält man, wenn man die Kräfte auf alle Ladungselemente im Würfel summiert.

Der Würfel dreht sich jedoch! Auf den Würfel wirkt ein Drehmoment.

Jetzt ist es Ihnen vielleicht egal, dass es sich dreht. Wenn Sie sich nur um die Flugbahn des Objekts kümmern, ist alles, was Sie interessiert, die Kraft. In einem solchen Fall können Sie es sich leisten, das Objekt als Punkt zu modellieren, und der "Center of Charge"-Ansatz wird Ihnen das geben, was Sie wollen. Aber wenn Ihnen die Drehung wichtig ist, können Sie es sich nicht leisten, das Objekt als Punkt zu modellieren, und Sie können das Punktpartikelmodell nicht verwenden. Wenn Sie an der gesamten kinetischen Energie interessiert sind, müssen Sie sowohl die Rotations- als auch die Translationsenergie einbeziehen. Der "Center of Charge"-Ansatz kann Ihnen das nicht geben. Das Punktteilchenmodell ist zu einfach, um die kinetische Rotationsenergie zu berücksichtigen.

Es gibt ein Zitat, das Einstein zugeschrieben wird, aber ich habe meine Zweifel, wer es zuerst gesagt haben könnte: „Machen Sie Ihre Modelle so einfach wie möglich, aber nicht einfacher.“

Ein Vektorfeld definiert eine Situation, in der die Größe und Richtung von Vektoren nur eine Funktion des Ortes sind. Wir können dies am besten an einem rotierenden starren Körper verstehen, bei dem die lineare Geschwindigkeit jedes Teilchens$\boldsymbol{v}$hängt von seinem Standort ab$\boldsymbol{r}$.

$$\boldsymbol{v} = \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r}$$

Um ein solches Vektorfeld zu beschreiben, definieren wir einen "axialen Vektor".$\boldsymbol{\omega}$die auf dem Ursprung platziert wird, um die Drehung des Objekts zu beschreiben. Diese Drehung hat die folgenden Eigenschaften

• Größe,$\omega = \| \boldsymbol{\omega} \|$
• Richtung,$\boldsymbol{k} = \frac{ \boldsymbol{\omega}}{\omega}$
• Ort, der Ursprung.

Lassen Sie uns nun unsere Perspektive umdrehen, um später eine Parallele zu den Kräften zu ziehen. Stellen Sie sich einen starren Körper vor, der sich mit einem Vektor dreht$\boldsymbol{\omega}$, über einen bestimmten Ort$\boldsymbol{r}$und wir messen die Lineargeschwindigkeit$\boldsymbol{v}$ am Ursprung .

$$\boldsymbol{v} = \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{\omega}$$

Beschreibt dies ein Vektorfeld? Ja, denn wir haben die Natur des Problems nicht verändert, aber unsere Perspektive verändert. Obwohl wir uns um den axialen Vektor bewegen$\boldsymbol{\omega}$An verschiedenen Orten messen wir die Wirkung am Ursprung. Hier$\boldsymbol{v}$immer noch ein Vektorfeld darstellt, und$\boldsymbol{\omega}$ist der axiale Vektor. Die Eigenschaften sind jetzt

• Rotationsgröße,$\omega = \| \boldsymbol{\omega} \|$
• Drehrichtung,$\boldsymbol{k} = \frac{ \boldsymbol{\omega}}{\omega}$
• Position der Achse (wiederhergestellt von der Geschwindigkeit),$\boldsymbol{r} = \frac{ \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{v}}{ \omega^2 }$

^{Nachweisen:$\require{cancel} \frac{ \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{v}}{ \omega^2 } = \frac{ \boldsymbol{\omega} \times (\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{\omega} )}{ \omega^2 } = \frac{ \boldsymbol{r} \omega^2 - \boldsymbol{\omega} \cancel{(\boldsymbol{r}\cdot \boldsymbol{\omega})}}{\omega^2} = \boldsymbol{r}$mit der Regel, dass$\boldsymbol{r}$ist die Position auf der Achse, die dem Ursprung am nächsten liegt.}

Betrachten wir nun die gesamte ähnliche Situation und betrachten einen starren Körper mit einer Kraft$\boldsymbol{F}$über einen Standort angewendet$\boldsymbol{r}$und wir messen das äquipolente Drehmoment$\boldsymbol{\tau}$ am Ursprung .

$$\boldsymbol{\tau} = \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{F}$$

Beschreibt dies ein Vektorfeld? Ja, aus den gleichen Gründen wie oben. Hier$\boldsymbol{\tau}$immer noch ein Vektorfeld darstellt, und$\boldsymbol{F}$ist der axiale Vektor. Die Eigenschaften sind jetzt

• Größe der Kraft,$F = \| \boldsymbol{F} \|$
• Kraftrichtung,$\boldsymbol{e} = \frac{ \boldsymbol{F}}{F}$
• Position der Achse (vom Troque wiederhergestellt),$\boldsymbol{r} = \frac{ \boldsymbol{F} \times \boldsymbol{\tau}}{ F^2 }$

Die Geometrie der Mechanik schreibt also die folgenden Definitionen vor.

$$\begin{array}{l|c|c} \mbox{quantitity} & \mbox{axial vector} & \mbox{moment vector} \\ \hline \mbox{motion} & \boldsymbol{\omega} & \boldsymbol{v} = \boldsymbol{r}\times \boldsymbol{\omega} \\ \hline \mbox{momentum} & \boldsymbol{p} & \boldsymbol{L} = \boldsymbol{r}\times \boldsymbol{p} \\ \hline \mbox{loading} & \boldsymbol{F} & \boldsymbol{\tau} = \boldsymbol{r}\times \boldsymbol{F} \end{array}$$

Hinweis: Ich bevorzuge den Begriff Momentvektor gegenüber Vektorfeld, da er die spezifische Situation besser beschreibt.

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Es gibt hier etwas Raum für Verwirrung aufgrund der Definition des Liner-Impulses.

Der lineare Impuls (der axiale Vektor) wird aus der Geschwindigkeit (dem Vektorfeld) an einem bestimmten Punkt (dem Massenmittelpunkt) definiert.

$$\boldsymbol{p} = m ( \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r}_{\rm com} )$$

Die Bewegungsgleichungen beziehen sich auf die Kraft (Achsenvektor$\boldsymbol{F}$) mit der Impulsänderungsrate (axialer Vektor$\boldsymbol{p}$). Die Rotationsgleichungen beziehen sich auf das Drehmoment im Massenmittelpunkt (Vektorfeld$\boldsymbol{\tau}_{\rm com}$) zur Änderungsrate des Drehimpulses im Massenmittelpunkt (Vektorfeld$\boldsymbol{L}_{\rm com}$).

Wie Sie sehen können, stimmen die Bewegungsgleichungen mit der geometrischen Interpretation der Mechanik überein.

$$\begin{aligned} \boldsymbol{F} & = m (\boldsymbol{\alpha} \times \boldsymbol{r}_{\rm com}) + \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{p} = m \boldsymbol{a}_{\rm com} \\ \boldsymbol{\tau}_{\rm com} & = \mathtt{I}_{\rm com} \boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{L}_{\rm com} = \mathtt{I}_{\rm com} \boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\omega} \times \mathtt{I}_{\rm com} \boldsymbol{\omega} \end{aligned}$$