Was genau ist ein konservatives Vektorfeld?

Ich studiere Analysis, aber da das Beispiel ein physikalisches Konzept beinhaltete. Ich werde hier fragen:

So läuft es:

Dies bedeutet, dass in einem konservativen Kraftfeld die Menge an Arbeit, die erforderlich ist, um ein Objekt von Punkt a nach Punkt b zu bewegen, nur von diesen Punkten abhängt, nicht von dem Weg, der zwischen ihnen zurückgelegt wird.

Aber was bedeutet es? Wie hängt es nicht vom Pfad ab?

Gibt es etwas, das der Wikipedia-Artikel darüber nicht behandelt?
Nun, mathematisch ist es in meinem Buch auch bewiesen, aber irgendwie ergab es keinen intuitiven Sinn. Aber vielleicht ist Mathe alles, worauf ich mich hier verlassen muss. In einem konservativen Vektorfeld wird das Objekt also immer die maximal mögliche Arbeit zwischen 2 beliebigen Punkten leisten? Habe ich das richtig verstanden?
Sie arbeiten, sagen wir, um ein Gewicht zu heben, und dann, in einem konservativen Bereich, sagen wir Schwerkraft ohne Reibung, erhalten Sie genau die Arbeit zurück, die Sie geleistet haben, nachdem Sie das Gewicht überhaupt erst gehoben haben. kein im wirklichen Leben üblicher Effekt. Der Weg in der Schwerkraft hängt nur von der vertikalen Bewegung ab, die horizontale Bewegung kommt nicht vor

Antworten (1)

Wenn F → ein konservatives Kraftfeld ist, dann erfüllt es die Eigenschaft

(1) ∇ → × F → = 0 ,
und es kann geschrieben werden als
(2) F → = ∇ → v ,
für eine Skalarfunktion v (was der Potentialfunktion in der Physik entspricht).

Beachten Sie das, wenn Sie setzen ( 2 ) hinein ( 1 ) es wird zu einer "Welle eines Farbverlaufs" und verschwindet automatisch. Dieses Ergebnis können Sie mit einfachen mathematischen Kenntnissen herleiten.

In der Physik Arbeit, die an einem Teilchen durch Aufbringen einer Kraft verrichtet wird F → entlang eines Weges ist definiert als

(3) W = ∫ C F → ⋅ D S → ,
Wo C ein beliebiger Pfad ist, der zwei Punkte im Raum verbindet, call A (Anfangspunkt) und B (Endpunkt). Dies sind die Punkte, an denen wir die Kraftanwendung beginnen/beenden. Diesbezüglich können wir umschreiben ( 3 ) als
W = ∫ A B F → ⋅ D S → .

Nun, wenn F → konservativ ist, dann können wir auch Eigentum verwenden ( 2 ) , was gibt

W = ∫ A B ∇ → v ⋅ D S → = ∫ A B ∂ ∂ S → v ⋅ D S → = v ( B ) − v ( A ) .

Mit der gegebenen Eigenschaft, dass das Kraftfeld konservativ ist, stellen wir fest, dass die Arbeit, die an einem Teilchen durch Ausüben dieses Kraftfelds geleistet wird, nur von den Endpunkten abhängt, nicht aber von dem Weg, den wir wählen.

HINWEIS: Konventionell schreiben wir in der Physik ( 2 ) mit Minuszeichen davor,

F → = − ∇ → v .
Im obigen Text habe ich es jedoch in der formalen mathematischen Beschreibung ohne Rücksicht auf physikalische Bedenken verwendet.

Danke schön. Tatsächlich ist der Beweis auch in meinem Buch enthalten. Ich schätze, ich hatte einfach nicht das Gefühl, wie es sein könnte, aber andererseits ... sollte ich mich hier wahrscheinlich auf Mathematik verlassen. Ich werde Ihre Antwort als die beste auswählen, vielleicht hilft sie jemandem in der Zukunft.
Ich habe gerade die Kommentare oben gesehen. Wie @Acid Jazz erwähnte, geben Lehrer normalerweise auch in Vorlesungen das gleiche Gravitationsbeispiel. Wenn die Schwerkraft ein Objekt aus großer Höhe nach unten zieht H , dann wird er unabhängig vom gewählten Weg immer die Kraft ausüben F → = M G → und als Ergebnis wird am Teilchen immer Arbeit verrichtet W = M G H , wieder unabhängig vom Pfad.
Was genau ist ein konservatives Vektorfeld?
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