Ist F=maF=ma\mathbf{F}=m\mathbf{a} ein Vektorfeld oder nur ein Vektor?

Es kommt auf die konkrete Situation an.

A priori, die Gleichung$F=ma$ist als Differentialgleichung für zu lesen$a =\ddot{x}$so dass wir auflösen wollen$x(t)$In

Andererseits hängen viele Reibungskräfte wie die Stokes-Reibung von der Geschwindigkeit des Teilchens ab und sind daher keine Vektorfelder im Raum, da sie am selben Punkt im Raum unterschiedliche Werte haben können, je nachdem, welche Geschwindigkeit das bewegte Objekt dort hat.

In der Starrkörpermechanik$\bf{F}$ist kein Vektorfeld, weil man einen starren Körper (Schwerpunkt) mit beschleunigt$\bf{a}$Du wendest eine Kraft an$\bf{F}$ unabhängig davon, wo es angewendet wird. Der Ort der Kraft hat keinen Einfluss auf die Bewegung des Massenschwerpunkts.

Andererseits die Beschleunigung$\bf{a}$ist ein Vektorfeld, weil verschiedene Teile eines rotierenden starren Körpers unterschiedlich beschleunigen. Sondern Rotationsgeschwindigkeit$\boldsymbol{\omega}$und Beschleunigung$\boldsymbol{\alpha}$nicht, weil sie mit dem gesamten starren Körper geteilt werden.

Außerdem wird das Nettodrehmoment angewendet$\bf{T}$ist ein Vektorfeld, weil es (fast) immer als Fernkraft definiert ist$\bf{T} = \bf{r} \times \bf{F}$und damit der Ort der Kraft$\bf{F}$verändert das Drehmoment. Ein reines Drehmoment (oder ein Kräftepaar) ist kein Vektorfeld, da sein Ort nicht wichtig ist.

Die RHS der Newtonschen Gleichung$\mathbf F=m\ddot {\mathbf x}$ist ein Vektorfeld entlang der Kurve$\mathbf x(t)$. Die LHS könnte je nach Kontext sein:

1. Ein konstanter Vektor, z.$\mathbf F=m\mathbf g.$
2. Ein Vektorfeld, z.$\mathbf F=-\frac{\partial U}{\partial \mathbf x}.$
3. Eine vektorwertige Funktion, die im Tangentenraum definiert ist$T\mathbb R ^3\simeq \mathbb R ^3 \times \mathbb R ^3$, z.B,$\mathbf F = q\mathbf E (\mathbf x ,t)+ q\mathbf v \times \mathbf B (\mathbf x ,t).$

Es ist kein Problem, ein Vektorfeld entlang einer Kurve gleichzusetzen$m\ddot {\mathbf x}$zu einem der Objekte 1, 2 oder 3. Deshalb sprechen Physiker normalerweise von$\mathbf F$einfach als "Vektor". Dieselbe lockere Sprache wird in der speziellen Relativitätstheorie verwendet, wo man die Masse eines Teilchens oder seine Eigenzeit einfach als "Skalare" bezeichnet. Das erste Element ist nur eine Zahl, während das zweite ein Skalarfeld entlang der Weltlinie des Partikels ist$^1$.

Sie können die Newtonsche Gleichung auch rein in Form von Vektorfeldern formulieren, indem Sie zu einer "Geschwindigkeitsphasenraum" -Formulierung übergehen:

$^1$Dieses Beispiel zeigt auch, dass man generell zwischen einem Tensorfeld entlang einer Trajektorie und einem Tensorfeld entlang einer Parametrisierung unterscheiden muss . Die richtige Zeit hängt nicht von der jeweiligen Parametrierung ab$x^\mu = x^\mu (\lambda)$während die Lorentz-Kraft natürlich tut.

Es ist ein Vektorfeld. Allgemein ist eine Kraft (z. B. die Kraft, die ein elektrisches Feld auf eine Ladung ausübt) von der Position im Raum abhängig (man denke nur an die elektrische Kraft einer Punktladung) und damit$F = F(x,y,z)$ist ein Feld.

Auch hier gibt es keine Zweideutigkeit, da ein Vektor nur ein konstantes Vektorfeld ist (da eine Zahl nur eine konstante Funktion ist).

Bearbeiten: Ich denke, Ihre Verwirrung könnte vollständig auf das Wort "Feld" zurückzuführen sein, daher möchte ich das etwas näher erläutern.

Ein Feld ist nichts anderes als eine Funktion, die normalerweise aus dem Bereich von stammt$\mathbb{R}^n$für$n \ge 2$, also nur eine mehrwertige Funktion. Ein Vektorfeld bezieht sich auf eine Karte$f:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$(was natürlich weit entfernt ist von einer allgemeinen Definition des Begriffs Vektorfeld zB als Abschnitt eines Vektorbündels). Da diese Funktion ihre Werte aufnimmt$\mathbb{R}^n$, transformiert es automatisch als Vektor und ist daher ein Vektor für jedes n-Tupel$(x_1,\ldots, x_n) \in \mathbb{R}^n$.