Was ist der Unterschied zwischen Lösungen für homogene ODE 2. Ordnung?

Ich studiere Vibrationen und wir haben zwei Formen der homogenen ODE 2. Ordnung:

M X ̈ + k X ̇ = 0
X ( T ) = C 1 e ich w N T + C 2 e − ich w N T
Und
X ( T ) = A cos ⁡ ( w N T ) + B Sünde ⁡ ( w N T )
Obwohl ich beide Lösungen für ein bestimmtes Problem (für einfache Probleme) verwenden kann, was ist der Unterschied zwischen Lösungen für homogene ODE 2. Ordnung? Wann übereinander verwenden? Gibt es Situationen, in denen eine Form nützlicher ist als die andere?

Eigentlich sind diese beiden Lösungen gleich, sie unterscheiden sich nicht
@Sourabh, normalerweise A Und B reell sind und dann die zweite Lösung reell ist, aber die erste Lösung nur dann reell ist, wenn C 2 = C 1 ∗ also da ist dieser unterschied.
@HalHollis Verwenden Sie einfach die Beziehung zwischen Exponential und Sinus und Kosinus, und dann werden Sie sehen, dass sowohl die erste Lösung als auch die zweite Funktion nicht real sind, weil B ist nicht echt

Antworten (2)

Was ist der Unterschied zwischen Lösungen für homogene ODE 2. Ordnung?

Die zweite Form ist ein Spezialfall der ersten Form, wenn C 2 = C 1 ∗ in welchem ​​Fall X ( T ) ist eine wirklich geschätzte Funktion der Zeit (ich gehe hier davon aus, dass beides A Und B sind real)

Unter Verwendung der Euler-Formel kann die erste Form geschrieben werden als

( C 1 + C 2 ) cos ⁡ ( ω N T ) + ich ( C 1 − C 2 ) Sünde ⁡ ( ω N T )

wo im Allgemeinen C 1 Und C 2 sind komplexe Zahlen. Nun, wenn C 2 = C 1 ∗ dann ist das eben

2 ℜ { C 2 } cos ⁡ ( ω N T ) + 2 ℑ { C 2 } Sünde ⁡ ( ω N T )

und so

A = 2 ℜ { C 2 }

B = 2 ℑ { C 2 }

Wann übereinander verwenden?

Für X ( T ) reell, die zweite Form ist explizit reell.

Beachten Sie auch für die Real- und Imaginärteile der komplexen Exponentiallösung, ℜ { X ( T ) } Und ℑ { X ( T ) } , sind selbst zwei unabhängige Lösungen, ebenso wie die beiden reellen Lösungen ℜ { X ( T ) } Und ich ℑ { X ( T ) } . Das ist schön, denn manchmal können Sie mit der komplexen Lösung etwas rechnen und am Ende zwei unabhängige reelle Lösungen extrahieren - was weniger Arbeit ist, als mit zwei unabhängigen reellen Lösungen zu beginnen und beide separat zu rechnen. Noch schöner ist es, wenn die RHS der diff.eq. ist nicht Null, sondern ein harmonischer Zwangsterm wie ℜ { F e ich w T } .
@alephzero, nicht ℑ { X ( T ) } real? Oder anders ausgedrückt, z X ( T ) Komplex,
X ( T ) = ℜ { X ( T ) } + ich ℑ { X ( T ) }
Vielen Dank, dass Sie die Idee zementieren, dass zwei Lösungen gleich sind. Aber ich würde auch gerne wissen, ob man gegenüber dem Studium der mechanischen Schwingungen vorteilhafter ist.
was bedeutet sternchen daneben C 1 ?
@JekDenys, in welcher Hinsicht vorteilhaft? Wenn X ( T ) eine Verschiebung ist, dann können Sie sehen, dass die zweite Form der Lösung in Bezug auf die Anfangsbedingungen geschrieben werden kann (Anfangsverschiebung X 0 und Anfangsgeschwindigkeit v 0 ) also:
X ( T ) = X 0 cos ⁡ ( ω T ) + v 0 ω Sünde ⁡ ( ω T )
Das Sternchen bedeutet komplex konjugiert
@HalHollis, nun, ich weiß nicht, das ist genau meine Frage. Ich bin erst auf halbem Weg durch den Kurs und weiß nicht, ob es in einigen Situationen, die ich noch nicht kennengelernt habe, einen Vorteil hat, eine Form gegenüber der anderen zu verwenden. Also suche ich nach Erläuterungen dazu von jemandem, der das Studium mechanischer Schwingungen durchlaufen hat und mir sagen kann, dass dieses Formular hier am besten verwendet wird. Oder, nein, es spielt in keiner Situation von Mech Vib eine Rolle.
@HalHollis, also sind A und B echte Werte. Ja. Das hätte ich erwähnen sollen. Können Sie Ihrer Antwort hinzufügen, dass die zweite Form der Lösungen (mit A & B) bitte explizit echte Werte angibt?
@JekDenys, ich glaube, ich habe das bereits im letzten Satz meiner Antwort gesagt. Trotzdem werde ich meine Antwort aktualisieren, um diesen Punkt klarzustellen.

Kein Unterschied. Schreiben Sünde ⁡ ( X ) = 1 2 ich ( e ich X − e − ich X ) Und cos ⁡ ( X ) = 1 2 ( e ich X + e − ich X )

A cos ⁡ ( w T ) + B Sünde ⁡ ( w T ) = 1 2 A ( e ich w T + e − ich w T ) + 1 2 ich B ( e ich w T − e − ich w T ) = 1 2 ( A − ich B ) e ich w T + 1 2 ( A + ich B ) e − ich w T

die beiden Lösungen sind die gleichen für

C 1 = 1 2 ( A − ich B ) C 2 = 1 2 ( A + ich B )

Natürlich tut es mir leid, ich habe die Antwort korrigiert (ich dachte, etwas stimmt nicht ..)
Vielen Dank, dass Sie die Idee zementieren, dass zwei Lösungen gleich sind. Aber ich würde auch gerne wissen, ob man gegenüber dem Studium der mechanischen Schwingungen vorteilhafter ist.
Es ist nur eine Frage der Bequemlichkeit. Oft ist es besser, mit Exponentialfunktionen statt mit trigonometrischen Funktionen zu arbeiten, da Exponentialidentitäten leichter zu merken und schneller anzuwenden sind, manchmal möchten Sie jedoch deutlich machen, dass die Lösung real ist.
Ah! Ich verstehe. Das hilft. Wenn nur Ihr Kommentar zur Antwort von @Hal Hollis hinzugefügt werden könnte!
Ja, seine Antwort ist präziser und besagt, dass das eine im Allgemeinen ein Sonderfall des anderen ist. Ich schlage vor, Sie akzeptieren die Antwort von @Hal Hollis
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