Leiteroperatoren für eine allgemeine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung

Es stellt sich heraus, dass viele der Differentialgleichungen der mathematischen Physik eng mit Ausdrücken von Casimir-Invarianten einiger Lie-Gruppen verwandt sind, die in einer geeigneten Darstellung ausgedrückt werden. Darüber hinaus sind die meisten Spezialfunktionen, die üblicherweise in der mathematischen Physik zu finden sind, auch einfach mit der Wirkung von Generatoren von Lie-Algebren auf Basiszustände verbunden.

Als explizites Beispiel ist der Winkelteil des Laplace-Operators in sphärischen Koordinaten im Grunde der$su(2)$Casimir-Operator$\vec L\cdot \vec L$Operator in Differentialform; die ODE 2. Ordnung in$\theta$Gleichung ist nichts anderes als die Legendre-Differentialgleichung. Tatsächlich gibt es eine tiefe Verbindung zwischen speziellen Funktionen und den üblichen Differentialgleichungen der mathematischen Physik; Details sind in den Lehrbüchern zu finden

• Talman [Talman, James D. Spezielle Funktionen: ein gruppentheoretischer Ansatz. (1968)],
• Wilenkin [Wilenkin, Naum Jakowlewitsch. Spezielle Funktionen und die Theorie der Gruppendarstellungen . Vol. 22. American Mathematical Soc., 1978] oder
• Müller [Müller, Willard. Lügentheorie und spezielle Funktionen (1968)].

Wenn die zugrunde liegende Algebra (oder Gruppe) eine der halbeinfachen Algebren ist, kann die gesamte Maschinerie der Anhebe- und Absenkoperatoren aufgerufen werden, wobei diese Operatoren direkt auf verallgemeinerte Leiteroperatoren abgebildet werden. Auch wenn die Algebra nicht halbeinfach ist (wie zum Beispiel die euklidischen Algebren), ist es durchaus möglich, Hebe- und Senkoperatoren zu definieren, obwohl einige Finesse erforderlich ist und es technische Probleme gibt.

Zum Beispiel im Fall von$e(2)$, man kann "Gewichtszustände" definieren$\vert m\rangle$die Eigenzustände des Rotationsgenerators sind$\hat L_z$. Die beiden Translationsgeneratoren in der Ebene können so angeordnet werden$p_+$Und$p_-$so dass$p_\pm \vert m\rangle\propto \vert m\pm 1\rangle$.

Es besteht a priori keine Notwendigkeit für Hermitizität. Wenn die zugrunde liegende Algebra (oder Gruppe) kompakt ist, dann sind die endlichdimensionalen Irreps äquivalent zu unitären Darstellungen, so dass$\Gamma(A_+)$zusammenhängen kann$\Gamma(A_-)$. Dieses elegante Papier gibt Beispiele für endliche Dimensionen, nicht-einheitliche, aber unzerlegbare Darstellungen von$e(2)$wofür$p_+$Und$p_-$fungieren als Hebe- und Senkoperatoren, für die die Matrixdarstellung von$p_+$hat nichts mit dem von zu tun$p_-$. Dies hängt natürlich mit der fehlenden Einheitlichkeit der Darstellung zusammen.

(Wenn Sie der Meinung sind, dass unzerlegbare Darstellungen unzulässig sind, lesen Sie den letzten Aufsatz von Dirac vor seinem Tod mit dem Titel „The future of Atomic Physics“ , in dem Dirac sich für mehr Aufmerksamkeit für unzerlegbare Darstellungen einsetzt. Unzerlegbare Darstellungen wurden im Zusammenhang mit untersucht instabile Teilchen in dieser Arbeit Raczka, R. „Eine Theorie relativistischer instabiler Teilchen.“ Ann. d. IHP A 19 (1973): 341.

Hermitesche Operatoren, wie die von Ihnen erwähnten Hamiltonianer, haben die Eigenschaft, reelle Eigenwerte mit orthogonalen Eigenfunktionen zuzulassen. Leiteroperatoren sind dann einfach die Operatoren, die Sie von einer Eigenfunktion zu einer benachbarten Eigenfunktion führen. Jeder hermitische Operator wird also auch Leiteroperatoren zulassen.

Es ist wichtig zu beachten, dass die von Ihnen erwähnte allgemeine Differentialgleichung zweiter Ordnung möglicherweise nicht hermitesch ist, und wenn der fragliche Operator nicht hermitesch ist, gibt es möglicherweise keinen vollständigen Satz von Eigenfunktionen, die den Lösungsbereich abdecken. Die Zerlegung auf einen orthonormalen Basissatz von Funktionen und die Verwendung von Leiteroperatoren können jedoch oft selbst für nicht-hermitesche Operatoren numerisch nützlich sein.

Zusätzlich zu ihren vielen praktischen Anwendungen gibt es auch tiefe Verbindungen zwischen Leiteroperatoren und der Gruppentheorie, die ich den Referenzen überlassen werde.

Hier sind einige Beispiele für Ladder-Operatoren, die außerhalb ihres normalen Anwendungsbereichs verwendet werden:

Verallgemeinerte Laguerre-Funktionen,${\bf su}(1,1)$

Kugelharmonische,${\bf so}(2,1)$Und${\bf so}(3,2)$