Gibt es Ergebnisse zur Regularität der verallgemeinerten Eigenfunktionen, die in spektralen Darstellungen unbeschränkter Differentialoperatoren verwendet werden?

Ich verwende die "direkte integrale" Version des Spektralsatzes, wie sie zB in Hall angegeben ist . Es besagt, dass eine diagonale Darstellung für einen unbeschränkten Operator auf dem Hilbert-Raum$L^2(\mathbb{R}^n)$kann als "direktes Integral" konstruiert werden, oder

$$\mathcal{H}_{\hat{A}} = \int^\oplus_{\sigma(\hat{A})}d\mu(a) \mathcal{H}_a.$$

Zustände im Hilbert-Raum werden als quadratintegrierbare "Abschnitte" oder als Funktionen von gebildet$a$mit Werten in den Hilbert-Räumen$\mathcal{H}_a$. Seit der$\mathcal{H}_a$Räume sind keine echten Unterräume, Vektoren in ihnen sind nicht wirklich drin$\mathcal{H}$, also "verallgemeinerte Eigenvektoren". Sie können als Funktion auf einer dichten Teilmenge des Hilbert-Raums definiert werden

$$v \in \mathcal{H}_a: \; \psi(a^\prime) \; \mapsto (\psi(a),v) \in \mathbb{C},$$

das kann dann natürlich wieder auf funktional erweitert werden$L^2(\mathbb{R}^n)$. Ich bin mir ziemlich sicher, dass die Ergebnisse dieses Kapitels verwendet werden können, um zu demonstrieren, dass if$\hat{A}$ist in der Algebra erzeugt durch$\hat{x}$Und$\hat{p}$dann sind diese Funktionale notwendigerweise temperierte Verteilungen.

Nun das Konkrete$\hat{A}$Ich interessiere mich für einen Differentialoperator$L^2(\mathbb{R}^{3\oplus1})$. (Insbesondere ist es der „Klein-Gordon-ähnliche“ Operator, der für Spin-Halbteilchen in einem angelegten elektromagnetischen Feld verwendet wird und durch Quadrieren des Dirac-Operators gebildet wird.) Was ich wirklich gerne tun könnte, ist angesichts dessen$\hat{A}$ein Differentialoperator ist, verwenden Sie einige Ergebnisse über PDEs auf diesen verallgemeinerten Eigenvektoren.

Dies erfordert jedoch einige Vorstellungen über die Regelmäßigkeit der verallgemeinerten Eigenfunktionen, die ich einfach nicht finden konnte. Mein Problem ist, dass der Betreiber$\hat{A}$Ich verwende hyperbolisch zweiter Ordnung, und daher gibt es für mich nicht viele gute Ergebnisse zur Regularität in der PDE-Mathematikliteratur. Dies scheint an der bloßen Tatsache zu liegen, dass$\psi$gehorcht der Differentialgleichung$(\hat{A}-a)\psi=0$aus einem ähnlichen Grund nicht ausreicht, um irgendeine Art von Regelmäßigkeit durchzusetzen$\delta(x-ct)$ist eine Lösung der Wellengleichung. Ich denke, dass ich daher eine Regularität brauche, die durch die Verwendung der Lösung der Differentialgleichung als verallgemeinerte Eigenfunktion oder als Basiszustand in der direkten integralen Spektraldarstellung erzwungen wird.

Mir ist klar, dass dies ein bisschen weit hergeholt sein könnte, aber ich habe tagelang darum gekämpft, ein solches Ergebnis zu finden, und es wäre äußerst nützlich für mich. Kennt jemand Literatur, die sich mit dieser Frage der Regularität der Basis von Spektraldarstellungen von Differentialoperatoren beschäftigt?