Wie berechnet man die gedämpften Frequenzen eines linearen Systems?

Ich habe es mit einem Vibrationsproblem zu tun. Das System ist frei schwingungsfähig und seine Masse, Steifigkeit und Dämpfungsmatrizen sind es

M = [ 60 23.5 0 23.5 15.996 0 0 0 3.507 ]
K = [ 600000 117500 0 117500 117010.4 − 2000 0 − 2000 2000 ]
C = [ 600 117.5 0 117.5 319.01 − 200 0 − 200 200 ]
Die drei Matrizen sind nicht gleichzeitig diagonalisierbar, sodass die klassische Modalanalyse einen oberflächlichen Einblick in das Problem gibt. Die Eigenfrequenzen des zugehörigen ungedämpften Systems sind
ω N = { 143.078 82.2742 23.6099 }
Durch FFT kann ich das Frequenzspektrum sehen, aber ich hätte gerne einen analytischeren Ansatz. Ich weiß, wie man Bewegungsgleichungen durch komplexe Modalanalyse entkoppelt, aber ich verstehe immer noch nicht, wie man die gedämpften Frequenzen erhält.

Um es klar zu sagen, wie würde die Differentialgleichung aussehen? Etwas wie das: M X → ¨ = − K X → − C X → ˙ ?
@fibonatic ja genau [ M ] X ¨ + [ C ] X ˙ + [ K ] X = 0 , und es ist ein Drei-DOF-System

Antworten (1)

Sie können die Differentialgleichung als System von Differentialgleichungen erster Ordnung schreiben,

(1) D D T j = A   j ,

Wo,

(2) j = [ X → X → ˙ ] ,

Und

(3) A = [ 0 ICH − M − 1 K − M − 1 C ] .

Die gedämpften Frequenzen dieses Systems lassen sich aus den Eigenwerten von berechnen A .

Dies löst das Problem nicht, fürchte ich, das System ist nicht proportional gedämpft, sodass die Eigenwerte von A komplex sind
Komplexe @gravinozzo-Eigenwerte (die in konjugierten Paaren auftreten) implizieren unterdämpfte Eigenfrequenzen. Während völlig reale Eigenwerte überdämpft (oder kritisch gedämpft, wenn der Eigenwert eine Vielfachheit von zwei hat) implizieren.
ok, aber wie visualisiere ich sie grafisch? Das System ist real, ich muss einige reelle Zahlen sehen, um es besser zu verstehen
@gravinozzo Ein Paar komplexer konjugierter Eigenwerte ( λ 1 Und λ 2 ) kann in Eigenfrequenz und Dämpfungskoeffizient umgerechnet werden mit: ω N = λ 1 λ 2 , ζ = λ 1 + λ 2 − 2 λ 1 λ 2 . Es kann angemerkt werden, dass nur dann, wenn das Eigenwertepaar einen Imaginärteil ungleich Null hat, der Dämpfungskoeffizient kleiner als 1 ist, also unterdämpft (und die gedämpfte Frequenz nur der Imaginärteil der Eigenwerte ist).
@gravinozzo "Ich fürchte, das System ist nicht proportional gedämpft, daher sind die Eigenwerte von A komplex" - ja, das ist die Lösung. Jeder komplexe Eigenwert enthält Informationen über die Frequenz und sein Dämpfungsverhältnis. Im Allgemeinen sind auch die Modenformen komplex – dh in jeder Mode bewegen sich die Freiheitsgrade im Modell mit unterschiedlichen Amplituden und unterschiedlichen Phasen , im Gegensatz zu einer ungedämpften Struktur.
Vielen Dank an alle, jetzt habe ich ein besseres Verständnis. Jetzt habe ich die gedämpften Frequenzen, zwei davon sind niedriger als ihr ungedämpftes Gegenstück, eine davon ist etwas mehr. Ich dachte sie H A D weniger sein
Wie berechnet man die gedämpften Frequenzen eines linearen Systems?
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