"Komplexe Variablenmethode" in Diff. Gl. - Begründung und physikalische Bedeutung?

Wenn man komplexe Variablen auf diese Weise verwendet, multipliziert man nie zwei Variablen, weil das ganze System linear ist: wenn$z$die oszillierende Variable ist und Sie sich dafür entscheiden, sie durch eine komplexe Zahl darzustellen, dann Dinge wie$z\times z$treten nicht in einer linearen Gleichung auf, sodass Sie nicht die Art von Widerspruch erhalten, auf die Sie oben scharfsinnig und klar hingewiesen haben. Wenn die Variable$z = r \exp(-i\,\omega\,t + i\,\phi)$wird mit einem komplexen Koeffizienten multipliziert$\alpha = a e^{i\,\theta}$dann wird dies getan, um (1) eine Amplitudenskalierung durch die reale Proportionalitätskonstante zu erteilen$a$und (2) eine Phasenverschiebung von$\theta$Radiant, dh eine Verzögerung, die durch einen Bruch gegeben ist$\theta / (2\pi)$der Oszillationsperiode: Es hat keine physikalische Bedeutung, den Realteil zu nehmen, bevor die Skalierungs- und Verzögerungsoperation vermittelt wird, und die beiden komplexen Zahlen$\alpha$Und$z$wurden vollständig multipliziert. Das Verfahren bei dieser Technik ist also, dass komplexe Größen in die entsprechenden reellen umgewandelt werden, indem der reelle Teil ganz am Ende der Berechnung genommen wird, nie zuvor.

Was funktioniert das alles? Es ist einfach Linearität: Jedes Vielfache der Lösung ist auch eine Lösung und jede Summe zweier Lösungen ist auch eine Lösung. Die allgemeine stationäre Lösung für eine lineare Gleichung mit konstanten Koeffizienten mit erzwingendem Term ("Eingabe")$\cos(\omega\,t)$ist immer eine Funktion der Form$a\cos(\omega\,t + \phi) = a \cos\phi \cos(\omega\,t) - a \sin\phi \sin(\omega\,t)$, also können wir sehen, dass unser "Lösungsraum" ein Vektorraum ist, der von den beiden Funktionen aufgespannt wird$\cos(\omega\,t)$Und$\sin(\omega t)$. Man wechselt einfach die Basis und nutzt die Funktionen$\exp(i\,\omega\,t) = \cos(\omega\,t) + i\,\sin(\omega t)$Und$\exp(-i\,\omega\,t) = \cos(\omega\,t) - i\,\sin(\omega t)$stattdessen: durch Linearität ist eine vollkommen gültig. Wenn darüber hinaus das lineare System reelle Koeffizienten hat, dann entspricht die Lösung einer Eingabe der Welle mit "negativer Frequenz".$\exp(i\,\omega\,t)$ist einfach das komplexe Konjugierte der Lösung, die der Eingabe der Welle mit "positiver Frequenz" entspricht$\exp(-i\,\omega\,t)$. So können wir das Verhalten des Systems als Reaktion auf einen Zwangsterm des Formulars ableiten$a\,\cos(\omega\,t) + b\, \sin(\omega t)$durch einfaches Ableiten des Verhaltens als Reaktion auf das Prototypische$\exp(-i\,\omega\,t)$. Wir nehmen den Realteil am Ende einer Berechnung, was wir im Detail tun, ist Folgendes: Wir mitteln unsere Lösung mit ihrer komplexen Konjugierten, dh in einem Schritt folgern wir das Verhalten des Systems für eine Eingabe der Form$\exp(+i\,\omega\,t)$und Mittelung mit unserer Lösung, so dass wir das nie wirklich sehen$\exp(+i\,\omega\,t)$Bedingungen.

Warum tun wir das? Es ist einfacher. Es ist wichtig zu beachten, dass dies nicht unbedingt erforderlich ist . Wir könnten alles in Bezug auf Sinus und Cosinus tun, und der vorangegangene Absatz kann zeigen, dass wir dasselbe Ergebnis erhalten, wenn wir komplexe Exponentiale verwenden, und die Art der automatischen "doppelten Behandlung" positiver und negativer Exponentiale, die ich beschrieben habe, ist wahrscheinlich die prägnanteste Beschreibung, wie diese Bequemlichkeit entsteht.

Der Grund, warum die Methode der komplexen Variablen machbar ist, ist die eigentlich äquivalente Darstellung von kartesischen Koordinaten und Polarkoordinaten. Normalerweise sind bei der Beschreibung der Revolution trigonometrische Funktionen in kartesischen Koordinaten beteiligt. Um sie zu vermeiden, führen wir Polarkoordinaten ein, sodass nur Azimutwinkel und Amplitude verwendet werden. Ihr gegebenes Beispiel verwechselt die Amplitude durch den Realteil der komplexen Darstellung.