Komplexe Lösungen für einen unterdämpften Oszillator

Question

Komplexe Lösungen für einen unterdämpften Oszillator

Wellen
Physik
Oszillatoren
lineare Systeme
komplexe Zahlen
harmonischer Oszillator

Anjan

In vielen Büchern, die über gedämpfte einfache harmonische Bewegung sprechen, wird der unterdämpfte Oszillator wie folgt behandelt:

Das zweite Newtonsche Gesetz besagt
$M \ddot{X} + R \dot{X} + S X = 0$ $m\ddot{x} + r\dot{x} + sx = 0$ wobei s die Steifigkeitskonstante, r die Viskositätskonstante und m die Masse des schwingenden Objekts ist. Die Lösung der Differentialgleichung ist $X = C e^{a T} .$ $x=Ce^{\alpha t} \, .$ Setzen wir die obige Lösung in die Differentialgleichung ein, erhalten wir $a = \frac{R}{2 M} \pm \sqrt{\frac{R^{2}}{4 M^{2}} - \frac{S}{M}} .$ $\alpha = \frac{r}{2m} \pm \sqrt{\frac{r^2}{4m^2} - \frac{s}{m}} \, .$ Im unterdämpften Fall ist der Term in der Quadratwurzel kleiner als 0 und wir haben zwei Lösungen: $\begin{aligned} X = & e^{- R T / 2 M} e^{\pm ich w^{'} T} \\ Wo w^{'} = & \sqrt{\frac{S}{M} - \frac{R^{2}}{4 M^{2}}} . \end{aligned}$ $\begin{align} x =& e^{-rt/2m}e^{\pm i w't} \\ \text{where} \qquad w' =& \sqrt{\frac{s}{m} - \frac{r^2}{4m^2} } \, . \end{align}$

Danach habe ich zwei Quellen, wo sie die Lösung vermuten

X = e^{- R T / 2 M} [A \cos (ω T) + B Sünde (ω T)] .

$x= e^{-rt/2m}[A \cos(\omega t)+ B \sin(\omega t)] \, .$

In einer der Quellen, RD Gregory, sagt der Autor

Die Real- und Imaginärteile der ersten komplexen Lösung sind
$X = {\begin{cases} e^{- R T / 2 M} \cos (ω T) \\ e^{- R T / 2 M} Sünde (ω T) \end{cases}$ $x=\begin{cases} e^{-rt/2m} \cos(\omega t) \\ e^{-rt/2m} \sin(\omega t) \end{cases}$ und diese Funktionen bilden eine Basis für den Raum realer Lösungen. Die allgemeine reelle Lösung der gedämpften SHM-Gleichung ist in diesem Fall daher $X = e^{- R T / 2 M} [A \cos (ω T) + B Sünde (ω T)] .$ $x= e^{-rt/2m}[A \cos(\omega t)+ B \sin(\omega t)] \, .$

Hier ist eine andere Quelle, in der ich das oben Gesagte als Lösung gefunden habe.

Jetzt liegt meine Verwirrung darin, dass der Autor sowohl den realen als auch den imaginären Teil als Grundlage für die "echte" Lösung nimmt. Kann mir jemand erklären, wie der Imaginärteil in der Basis ist?

Antworten (2)

Komplexe Lösungen für einen unterdämpften Oszillator

Wladimir Kalitwjanski · Answer 1

Als Gleichung für $x$ linear und von zweiter Ordnung ist, gibt es zwei unabhängige Lösungen dafür. Sie können zwei linear unabhängige komplexe Lösungen wie wählen $A\cdot exp(\text{i}\omega t)$ Und $B\cdot exp(-\text{i}\omega t)$ mit beliebigen Koeffizienten (im Allgemeinen komplex) oder zwei reellen Lösungen, insbesondere wenn Ihre Variable reellwertig ist. $\sin(\omega t)$ Und $\cos(\omega t)$ sind nur lineare Kombinationen Ihrer komplexen Exponentiale. Wenn Sie die Anfangsbedingungen anwenden $x(0)=x_0,\; \dot{x}(0)=v_0$ , werden Sie die Koeffizienten festlegen $A$ Und $B$ , die ansonsten willkürlich sind. Für $\sin(\omega t)$ Und $\cos(\omega t)$ die resultierenden Koeffizienten werden ebenfalls reell bewertet. Für komplexe Exponentiale sind die resultierenden Koeffizienten komplex, wobei die eindeutige Lösung numerisch dieselbe ist.

Bill Watt · Answer 2

\begin{aligned} C 1 \exp (ich ω T) + C 2 \exp (- ich ω T) = & C 1 (\cos (ω T) + ich Sünde (ω T)) + C 2 (\cos (ω T) - ich Sünde (ω T)) \\ = & (C 1 + C 2) \cos (w T) + ich (C 1 - C 2) Sünde (w T) \\ = & A \cos (ω T) + B Sünde (ω T) \end{aligned}

$\begin{align} c1 \exp(i \omega t) + c2 \exp(-i \omega t) =& c1 (\cos(\omega t)+ i \sin(\omega t)) + c2 (\cos(\omega t) - i \sin(\omega t)) \\ =& (c1+c2) \cos(w t)+i (c1 - c2) \sin(w t) \\ =& A \cos(\omega t) + B \sin(\omega t) \end{align}$ Wo

A \equiv c 1 + c 2

$A \equiv c1 + c2$ Und

B \equiv i (c 1 - c 2)

$B \equiv i(c1 - c2)$ .

Da die Lösung reellwertig ist, dann komplex $c_2^*=c_1$ . So $A=c_1+c_1^*=2\cdot \text{Re}(c_1)$ Und $B=-2\cdot \text{Im}(c_1)$ sind reelle Koeffizienten bei den reellen unabhängigen Lösungen.
@VladimirKalitvianski Wenn Sie meine Gleichungen für lösen, erhalten Sie c1und welche mit Ihren Gleichungen übereinstimmen, obwohl ich nicht sicher bin, worauf Sie hinauswollen, da meine auch funktionieren. Entschuldigung für das Fehlen von LATEX, aber ich habe es heute noch nie benutzt. Vielleicht werde ich besser. c2c1 = (A - i B)/2c2 = (A + i B)/2

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Anjan

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