Welche physikalische Bedeutung hat der Imaginärteil, wenn ebene Wellen als ei(kx−ωt)ei(kx−ωt)e^{i(kx-\omega t)} dargestellt werden?

Es spielt (in gewisser Weise) nicht wirklich eine Rolle, oder zumindest nicht, was die körperlichen Ergebnisse betrifft. Immer wenn jemand sagt

wir betrachten eine ebene Welle der Form$f(x) = Ae^{i(kx-\omega t)}$,

was sie wirklich sagen, ist so etwas wie

wir betrachten eine Schwingungsfunktion der Form$f_\mathrm{re}(x) = |A|\cos(kx-\omega t +\varphi)$, aber:

• das können wir in der Form darstellen$f_\mathrm{re}(x) = \mathrm{Re}(A e^{i(kx-\omega t)})=\frac12(A e^{i(kx-\omega t)}+A^* e^{-i(kx-\omega t)})$, wegen Eulers Formel ;
• Alles, was in unserer Analyse folgt, funktioniert für beide Komponenten gleich gut$A e^{i(kx-\omega t)}$und$A^* e^{-i(kx-\omega t)}$;
• Alles in unserer Analyse ist linear, daher funktioniert es automatisch für Summen wie die Summe von$A e^{i(kx-\omega t)}$und sein Konjugat in$f_\mathrm{re}(x)$;
• Außerdem ist alles wirklich, wirklich verdammt bequem, wenn wir komplexe Exponentiale verwenden, verglichen mit dem trigonometrischen Reifenspringen, das wir machen müssten, wenn wir die expliziten Kosinuswerte beibehalten würden;
• Also werden wir tatsächlich nur so tun, als ob die tatsächliche Menge von Interesse ist$f(x) = Ae^{i(kx-\omega t)}$, in dem Verständnis, dass Sie die physikalischen Ergebnisse erhalten, indem Sie den Realteil nehmen (dh das Konjugierte addieren und durch zwei dividieren), sobald alles erledigt ist;
• und tatsächlich vergessen wir am Ende vielleicht sogar, den Realteil zu übernehmen, weil es langweilig ist, aber wir vertrauen darauf, dass Sie im Hinterkopf behalten, dass es nur der Realteil ist, der physisch zählt.

Das sieht ein bisschen so aus, als ob die Autoren versuchen, Sie zu betrügen oder zumindest die Notation zu missbrauchen, aber in der Praxis funktioniert es wirklich gut, und die Verwendung von Exponentialen erspart Ihnen wirklich viel Schmerz.

Das heißt, wenn Sie mit Ihrem Schreiben vorsichtig sind, können Sie dies durchaus vermeiden$f(x) = Ae^{i(kx-\omega t)}$ist eine physikalische Größe, aber viele Autoren sind ziemlich faul und gehen mit diesen Unterscheidungen nicht so sorgfältig um, wie sie es vielleicht tun würden.

(Als wichtiger Vorbehalt gilt jedoch: Diese Antwort gilt für Größen, die real sein müssen, um einen physikalischen Sinn zu ergeben. Sie gilt nicht für quantenmechanische Wellenfunktionen, die komplexwertig sein müssen, und wo gesagt wird$\Psi(x,t) = e^{i(kx-\omega t)}$spezifiziert wirklich eine komplexwertige Wellenfunktion.)

Aus der Euler-Formel haben wir:

Dies ist eine gängige Ausdrucksweise$sine$oder$cosine$Wellen, da es die Mathematik erleichtert.

Wie Sie fragen, erschrecken viele darüber$i$im Exponenten. Das$i$bedeutet nicht, dass die Menge oder die Welle imaginär ist. Es hat nichts damit zu tun. Beim Lösen von Problemen betrachten wir nur den Real- oder den Imaginärteil dieses Ausdrucks (in den meisten Fällen betrachten wir einen von beiden, aber nicht beide).

Zum Beispiel,$A\cos (\omega t -kx)$kann ausgedrückt werden als$Real(Ae^{i(\omega t - kx)})$wo$Real(x)$gibt den reellen Teil der komplexen Zahl an$x$.

Tatsächlich ist der komplexe Ausdruck für eine ebene Welle äußerst nützlich in der Signalverarbeitung und in Bereichen der Elektrotechnik wie Kommunikationssystemen und Signalen. Es wird analytisches Signal genannt. Wikipedia hat eine ziemlich gute Erklärung dafür, wofür es nützlich ist, die Mathematik, wie und warum. Siehe https://en.m.wikipedia.org/wiki/Analytic_signal

die Umwandlung von komplex zurück in reell ist nur eine Frage des Verwerfens des Imaginärteils. Die analytische Darstellung ist eine Verallgemeinerung des Phasor-Konzepts:[2] Während der Phasor auf zeitinvariante Amplitude, Phase und Frequenz beschränkt ist, ermöglicht das analytische Signal zeitvariable Parameter.“

Und ja, die Analysefunktion wird von Physikern verwendet, um physikbezogene Signale zu analysieren - denken Sie daran, dass Signale das sind, was ein Großteil der Elektrotechnik-Community verwendet, um sich auf Wellenformen zu beziehen. Ein Beispiel ist die Art und Weise, wie es beim Analysieren und Vorbereiten von Wellenformschablonen zum Erfassen von Gravitationswellenformen und späteren Verarbeiten für die Korrelation mit dem empfangenen Signal verwendet wird, um die Wellenformparameter zu erfassen und dann zu erhalten. Ein Beispiel findet sich in dem Artikel in Arxiv unter https://arxiv.org/pdf/1606.03952.pdf , wo es für diesen Zweck verwendet wird.

Komplexe Exponentiale sind viel einfacher zu analysieren und zu verarbeiten als die Verwendung von Sinus und Cosinus und können heutzutage (und seit über 20 Jahren) leicht verarbeitet werden, indem Signalverarbeitungstechniken und Fourier-Transformation, Korrelation, Parameterschätzung (z. B. für Spektralanalyse und Modulationen, Verzerrungen usw.) verwendet werden usw.) und andere Techniken. Real- und Imaginärteil werden durch eine Hilbert-Transformation in Beziehung gesetzt, die bei der Verarbeitung der Signale aufwendig verwendet wird. Die Real- und Imaginärteile werden manchmal einfach als gleichphasige und Quadraturkomponenten bezeichnet und tragen Informationen, da sie zueinander orthogonal sind. In der Physik werden Comex-Exponentiale verwendet, um Wellenbewegungen und -effekte zu beschreiben und am besten zu analysieren, und für Störungen ist dies auch der beste Weg.