Verwenden komplexer Zahlen zur Darstellung von Wellen [Duplikat]

Wir haben

$$\begin{align} E(r,t) &= E_0 \cos(kr - \omega t - \phi)\\ &=E_0\left(e^{i(kr-\omega t -\phi)} + e^{-i(kr - \omega t + \phi)} \right)\\ &= \tilde{E}_0 e^{i(kr-\omega t)} + \tilde{E}^* e^{-i(kr-\omega t)}\\ &= E^{(+)} + E^{(-)} \end{align}$$

Hinweis, den ich eingestellt habe$\tilde{E}_0 = E_0 e^{-i\phi}$.

Nach (einer bestimmten Wahl) Konvention wird der erste Term als positiver Frequenzterm und der zweite Term als negativer Frequenzterm bezeichnet.

Wie bereits erwähnt, können Sie beim Hinzufügen von Wellen oder anderen linearen Manipulationen den negativen Frequenzterm weglassen und einfach mit dem positiven arbeiten, indem Sie den entsprechenden negativen Frequenzterm am Ende der Berechnung hinzufügen, um eine echte endgültige Antwort zu erhalten .

Wenn Sie verwirrt sind, empfehle ich, die oben gezeigten Manipulationen durchzuführen, damit Sie einen Ausdruck in Form von komplexen Exponentialen anstelle von Sinus und Cosinus erhalten. Anstatt jedoch den negativen rotierenden Teil fallen zu lassen, wie es oft (etwas mysteriös) in meinen Kursen und Lehrbüchern empfohlen wird, machen Sie einfach weiter und behalten Sie ihn. Sie müssen jetzt zwei Terme anstelle von einem herumziehen, aber Sie werden sehen, dass es einfacher ist, Manipulationen an komplexen Ausdrücken anstelle von sinusförmigen Ausdrücken durchzuführen. Sie werden auch sehen, dass Sie immer dann, wenn Sie etwas mit dem positiven Frequenzterm tun, im Grunde das komplex konjugierte Ding mit dem negativen Frequenzterm tun. Dann, wenn Sie darauf bestehen, können Sie die Intuition, die Sie aufgebaut haben, nutzen, um zu verstehen, dass Sie unter bestimmten Umständen den negativen Frequenzterm streichen können, damit Sie weniger Dinge aufzuschreiben haben.

Als Übungsbeispiel versuchen Sie folgende Frage zu beantworten:

Wie groß sind Amplitude und Phase der Welle, die die Summe der beiden folgenden Wellen ist:

$$\begin{align} E_1(r,t) &= E_1 \cos(kr-\omega t -\phi_1)\\ E_2(r,t) &= E_2 \sin(kr - \omega t + \phi_2) \end{align}$$

Dies kann in sinusförmiger Form gelöst werden, indem Trig-Identitäten für Summen und Differenzen innerhalb von Sinus und Cosinus verwendet werden. Es kann auch mit komplexen Exponentialen gelöst werden, wie oben beschrieben. Ich empfehle, es in beide Richtungen zu tun, um die Unterschiede zu sehen.

Schließlich, um wirklich den Nagel in den Sarg dieser sinusförmigen vs. exponentiellen Darstellung zu stecken, empfehle ich die Verwendung der Exponentialformeln, um die trigonometrischen Identitäten abzuleiten , die zur Lösung der obigen Übung benötigt werden. Diese trigonometrischen Identitäten können alternativ aus geometrischen Überlegungen und dem Zeichnen lustiger Dreiecke und dem Beschriften der Seiten abgeleitet werden, aber ich tue mich auf diese Weise sehr schwer damit. Sobald Sie sich daran gewöhnt haben, ist es ganz einfach, sie mit der Exponentialdarstellung zu beweisen, wie Sie hoffentlich feststellen werden.

Bearbeiten: Lassen Sie mich noch etwas hinzufügen, um Ihre Frage direkt anzusprechen: Sie fragen, woher wir wissen, dass der komplexe Teil nicht real wird und die Antwort beeinflusst. Was Sie beachten sollten, ist, dass, wenn Sie in der komplexen Darstellung arbeiten (nachdem Sie den negativen Frequenzteil ignoriert haben), die Komplexität des Ausdrucks tatsächlich entscheidend ist, um die Phase der Welle zu erfassen. Worüber Sie sich tatsächlich Sorgen machen sollten, ist: "Woher wissen wir, dass der negative Frequenzteil keinen positiven Frequenzteil entwickelt und die Antwort beeinflusst?" Die Antwort ist, dass, wenn alle Operationen linear sind, nur die Koeffizienten der Exponentiale betroffen sind, niemals die Argumente der Exponentiale, die die Phasen- und Frequenzterme enthalten. Wenn Sie jedoch beginnen, Wellen zu multiplizieren (sagen Sie, Sie ' B. beim Mischen oder Homogen/Heterodynieren von Signalen oder beim Betrachten anderer nichtlinearer Prozesse), werden Sie feststellen, dass Terme mit anderen Faktoren in der Exponentialfunktion auftauchen als ursprünglich. In diesem Fall würde ich nicht empfehlen, negative Frequenzterme fallen zu lassen, da Sie leicht etwas übersehen könnten.

Zusammenfassend: In der Sinusdarstellung steckt die relevante Information in den Amplituden und Phasen der Sinus- und Kosinusdarstellung und in der komplexen Darstellung steckt die relevante Information in der (komplexen) Amplitude der Koeffizienten der positiven und negativen Frequenzterme, Peilung Beachten Sie, dass die Informationen im Koeffizienten des positiven Frequenzterms mit den Informationen im negativen Frequenzkoeffizienten redundant sind, da diese beiden Terme komplex konjugiert sind.

Eigentlich der Imaginärteil von$e^{i\omega t}$, dh die$\sin(\omega t)$Teil, kann schließlich ein reales Bauteil produzieren, da es dafür keine Garantie gibt$\vec E_0$ist echt. Dies geschieht zum Beispiel in E&M-Wellen, wo ein elektrisches Feld in der Form gegeben ist

$$\vec E_c=\hat x E_0 e^{-\alpha z} e^{-i \beta z} e^{i\omega t}$$ mit dem physikalischen elektrischen Feld $$\vec E=\hat x E_0 e^{-\alpha z} \cos(\omega t-\beta z)\, ,$$ (Ich verwende den Index$c$um die komplexe Natur der Größe anzuzeigen) hat das Magnetfeld die Form $$\vec H_c=\frac{\hat y}{\eta}e^{-\alpha z} e^{-i \beta z}e^{i\omega t} =\frac{\hat y}{\vert\eta\vert }e^{-\alpha z} e^{-i \beta z}e^{i\omega t}e^{-i\theta_\eta}$$ Wo $\eta=\vert \eta\vert e^{i\theta_\eta}$ist die effektive komplexe Impedanz des Mediums.

Sie können dann den Realteil als schreiben

$$\begin{align} \vec H&=\frac{\hat y}{\vert \eta\vert}e^{-\alpha z} \cos(\omega t-\beta z-\theta_\eta)\, ,\\&= \frac{\hat y}{\vert \eta\vert}e^{-\alpha z} \left(\cos(\omega t-\beta z)\cos(\theta_\eta)+\sin(\omega t-\beta z)\sin(\theta_\eta)\right)\, . \end{align}$$ Der entscheidende Punkt ist jedoch, dass das Erscheinen von Sinus und Kosinus einfach darauf hinweist, dass eine Phasenverschiebung vorliegt, gegeben durch $\theta_\eta$zwischen elektrischen und magnetischen Feldern.

Die gleiche allgemeine Art von Situation tritt in LRC-Schaltungen auf, da es eine Phasenverschiebung zwischen der Spannung und dem Strom geben kann.