Komplexe Zahlen in der Optik

Bei jedem einfachen harmonischen Oszillator interessieren uns zwei Größen, die Phase und die Amplitude. Komplexe Zahlen sind eine einfache Möglichkeit, beides in einem einzigen Wert darzustellen, zumal eine komplexe Zahl in das Formular geschrieben werden kann$Ae^{i\theta}$wo$A$ist die Amplitude und$\theta$ist die Phase. Dies bedeutet nicht, dass Licht eine "imaginäre" Komponente hat. Die komplexe Zahl ist nur ein mathematisches Modell für das Licht.

Es gibt viele Möglichkeiten, wie komplexe Zahlen die Konstruktion mathematischer Modelle erleichtern. Wenn Sie Zugang zu einem Exemplar von Roger Penroses Buch „The Road to Reality“ haben, schauen Sie sich Kapitel 4 an, wo er diesen Aspekt komplexer Zahlen behandelt.

Die Antwort von John Rennie , dass komplexe Zahlen Berechnungen mit sinusförmig variierenden Größen vereinfachen, indem Sie lineare Operationen mit komplexen Exponentialen durchführen und dann am Ende Ihrer Berechnung zu Sinuskurven zurückkehren, ist völlig richtig und eine Zusammenfassung dessen, was die Phasor-Methode für den Umgang genannt wird mit jeder Größe, die sich sinusförmig mit der Zeit ändert (normalerweise - gelegentlich ersetzt eine Koordinate die Zeit).

Aber es gibt auch eine ganz besondere Beziehung zwischen komplexen Zahlen und den Maxwell-Gleichungen (und damit mit der Optik), die unabhängig davon gilt, ob die Variation zeitharmonisch ist oder nicht, und die nur für Maxwell-Gleichungen gilt. Dies ist der Begriff der Diagonalisierung oder Entkopplung der Maxwell-Gleichungen. Schauen wir uns die Faraday- und Ampère-Gesetze an:

zwei gekoppelte Gleichungen erster Ordnung. Sie können sie durch Brute-Force-Eliminierung lösen, was zu Gleichungen zweiter Ordnung führt. Alternativ können wir sie zur Vereinfachung durch Diagonalisieren entkoppeln . Wir suchen ein Feld$\alpha\vec{E} + \beta\vec{B}$was dies tut: es passiert so, wenn wir setzen$\vec{F}_{\pm} = \vec{E} \pm i\,c\,\vec{B}$dann erhalten wir durch Addition zwei entkoppelte Gleichungen erster Ordnung$\pm i\,c$mal (1) bis (2)

was die Lösung der Maxwell-Gleichungen vereinfacht (oft die$i$steht auf der linken Seite, um zu betonen, dass die Maxwell-Gleichungen die erste quantisierte Schrödinger-Gleichung für das Photon sind). Versuchen Sie Folgendes: Es gibt keine anderen Überlagerungsgewichte, die funktionieren:$\pm i\,c$sind die einzigen , die Maxwells Gleichungen diagonalisieren.

Wir konnten uns also für beides entscheiden $\vec{F}_\pm$, davon ausgehen$\vec{E},\, \vec{B}$reellwertig sind (was sie natürlich im Labor sind), lösen Sie die Maxwell-Gleichungen mit dem Komplex$\vec{F}_+$(oder$\vec{F}_-$: es spielt keine Rolle, welche), dann teilen Sie unsere komplexe Zahlenlösung in Real- und Imaginärteile auf, um den reellen Wert zu erhalten$\vec{E}$und$c\,\vec{B}$Am Ende. Dieser Trick und die Vektoren$\vec{F}_\pm$, werden Riemann-Silberstein-Verfahren bzw. Vektoren genannt (nach Bernhard Riemann und Ludwik Silberstein ).

Es stellt sich jedoch heraus, dass wir stattdessen nur die positiven Frequenzteile von beiden behalten $\vec{F}_\pm$( dh wir ersetzen$\cos(\omega\,t+\delta)$durch$\exp(-i\,\omega\,t-\delta)$) genau wie bei der Zeigermethode, dann kann gezeigt werden, dass ein vollständig linkszirkular polarisiertes Feld eine positive Frequenzkomponente von Null enthält$\vec{F}_+$- nur$\vec{F}_-$ist ungleich Null. Ebenso hat eine ganz rechts zirkular polarisierte nur eine Null$\vec{F}_-$Teil und die$\vec{F}_+$ist ungleich Null.

Die Maxwell-Gleichungen werden also nicht nur durch die Eigenwerte diagonalisiert$\pm i\,c$, ihre Diagonalisierung durch diese eindeutige, komplexe Zahl zerlegt die Felder genau in ihre zirkular polarisierten Komponenten.

Isaac, lass mich sagen, dass du nicht der Einzige bist, der so fühlt. Ich hatte kürzlich einen Grundkurs (über nichtlineare Optik) unterrichtet und war fast schockiert, als ich feststellte, dass die meisten Studenten in der Verwendung komplexer Zahlen verwirrt waren. Tatsächlich fiel es ihnen dabei schwer, auch die schöne Physik zu verstehen/zu schätzen.

Meiner Meinung nach ist es enttäuschend, dass die Dozenten/Professoren nicht genug betonen, dass die komplexe Darstellung der elektrischen Feldamplitude einen zusätzlichen Begriff c.c. enthält. (oder manchmal Hc )

cc steht für komplexes Konjugat; Hc bedeutet Hermetisch konjugiert und Sie können sehen, dass die Hinzufügung dieses Begriffs die Gesamtmenge (auf LHS) als real erscheinen lassen würde.

Also ein elektrisches Feld der Form$E(z,t) = E_0 e^{i(kz - \omega t + \phi_0 )} + c.c.$=$2\cdot E_0 \cos(kz - \omega t + \phi_0)$beschreibt in der Tat eine reale/physikalische Welle.

Natürlich kann es beim Rechnen umständlich werden, den cc-Term durch eine Reihe von Gleichungen zu tragen, und deshalb wird er fallen gelassen (aber implizit ist er immer noch da).

Der vielleicht einfachste Grund, die Verwendung dieser Darstellung zu rechtfertigen, ist, dass die Multiplikation von zwei oder mehr Lichtwellen - die bei mehreren Phänomenen wie Interferenz auftreten kann - einfach durch Addition oder Subtraktion der Terme im Exponenten verstanden werden kann. Wie in zwei Wellen$e^{i\omega_1 t}$und$e^{i\omega_2 t}$wird Bedingungen produzieren$\propto$ $e^{i(\omega_1+\omega_2) t}$,$e^{i(\omega_1-\omega_2) t}$usw.

Vergleichen Sie dies damit, trigonometrische Identitäten verwenden zu müssen, und Sie werden verstehen, wie schön es ist, komplexe Nummern in der Optik zu verwenden.