Wie bekommt man eine „komplexe exponentielle“ Form der Wellengleichung aus einer „sinusförmigen Form“?

Wie user1104 kommentierte, verwenden Sie Eulers Identität:

$$e^{ix} = \cos(x) + i \space \sin(x)$$

So:

$$\sin(kx-\omega t) = \frac{ e^{i(kx-\omega t)} - e^{-i(kx-\omega t)}}{2i}$$

Aber wir würden normalerweise nicht damit fortfahren, die Sünde durch diesen Ausdruck zu ersetzen. Sowohl die Sinusform als auch die Exponentialform sind mathematisch gültige Lösungen der Wellengleichung, daher ist die einzige Frage ihre physikalische Gültigkeit. In der QM machen wir uns keine Gedanken darüber, eine komplexe Lösung zu haben, da die Observable der quadrierte Modul ist, der immer reell ist.

Für eine Gitarrensaite ist die komplexe Form natürlich physikalisch nicht gültig, aber jede Summe von Lösungen der Wellengleichung ist auch eine Lösung der Wellengleichung. Deshalb können wir die komplexen Lösungen addieren (oder subtrahieren), um eine echte Lösung zu erhalten.

Antwort auf Kommentar:

$$e^{ix} = \cos(x) + i \space \sin(x)$$

also ersetzen$x$von$-x$gibt:

$$\begin{split} e^{-ix} &= \cos(-x) + i \space \sin(-x)\\ &= \cos(x) - i \space \sin(x) \end{split}$$

Weil$\cos(x) = \cos(-x)$Und$\sin(x) = -\sin(-x)$. Also subtrahieren$e^{-ix}$aus$e^{ix}$gibt:

$$\begin{split} e^{ix} - e^{-ix} &= \cos(x) + i \space \sin(x) - \cos(x) + i \space \sin(x)\\ &= 2i \space \sin(x) \end{split}$$

Deshalb:

$$\frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i} = \sin(x)$$

Sie haben nach der zweiten Gleichung gefragt. Siehe unten:

$e^{ix}{}= 1 + ix + \frac{(ix)^2}{2!} + \frac{(ix)^3}{3!} + \frac{(ix)^4}{4!} + \frac{(ix)^5}{5!} + \frac{(ix)^6}{6!} + \frac{(ix)^7}{7!} + \frac{(ix)^8}{8!} + \cdots \\[8pt] {}= 1 + ix - \frac{x^2}{2!} - \frac{ix^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{ix^5}{5!} - \frac{x^6}{6!} - \frac{ix^7}{7!} + \frac{x^8}{8!} + \cdots \\[8pt] {}= \left( 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \frac{x^8}{8!} - \cdots \right) + i\left( x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots \right) \\[8pt] {}= \cos x + i\sin x \ .$

Um die Erweiterungen zu berechnen, die ich in der obigen Gleichung verwendet habe, müssen Sie das Verfahren zum Finden von Taylor-Entwicklungen von Funktionen verstehen. Dieses YouTube-Video lehrt das Verfahren: http://www.youtube.com/watch?v=GUtLtRDox3c

Betrachten Sie die folgende Ableitung:$[\cos{x} +i\sin{x}]' = i \sin{x} - i\cos{x} = i(\cos{x} +i\sin{x})$. Das sieht sicher aus$[e^{ix}]' = ie^{ix}$. Die Frage aus physikalischer Sicht ist also, warum das Schwingungsverhalten von$\sin$Und$\cos$so grundlegend mit dem Verhalten verbunden$\exp$Wachstum und Verfall steuern?

Eine Antwort könnte Selbstähnlichkeit sein...$\exp$ist selbstähnlich, so dass beispielsweise beim radioaktiven Zerfall die Anzahl der Zerfälle immer proportional zur Anzahl der vorhandenen Atome ist. Vergleichen Sie das mit einem Pendel, bei dem die Beschleunigung (Geschwindigkeitsänderung) proportional zur Verschiebung und die Verschiebungsänderung proportional zur Geschwindigkeit ist.

Diese beiden Ideen werden im gedämpften Oszillator kombiniert, wo der Realteil einer einzelnen komplexen Frequenz die Schwingung und der Imaginärteil die Dämpfung beschreibt.

Bei der Anwendung auf instabile Teilchen berücksichtigt man die Breit-Wigner-Resonanzformel, wenn man also Delta-Baryonen herstellt, beträgt die Masse im Durchschnitt 1232 MeV – aber nicht immer. Die Lebensdauer ist so kurz ($5 \times 10^{-24}\ $s), dass wir von der Breite der Resonanz (~114 MeV) sprechen – wobei die beiden durch die Heisenbergsche Unschärferelation verbunden sind. (Die Masse treibt den Oszillatorteil der Wellenfunktion an, während die Breite den Zerfall antreibt – so dass eine komplexe Frequenz die beiden Phänomene vereint).