Schwebungsfrequenz der Überlagerung von drei Sinuswellen

Question

Schwebungsfrequenz der Überlagerung von drei Sinuswellen

Wellen
Physik
Mathematik
Überlagerung
lineare Systeme
Hausaufgaben-und-Übungen

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Grundsätzlich haben wir die Funktion

F (T) = Sünde (2 π v_{1} T) + Sünde (2 π v_{2} T) + Sünde (2 π v_{3} T)

$f(t)=\sin(2π\nu_1 t)+\sin(2π\nu_2 t)+\sin(2π\nu_3 t)$

Lassen $T$ sei die Grundperiode von $f(t)$ .

Die Schwebungsfrequenz ist definiert als die Anzahl der Intensitätsspitzen pro Zeiteinheit für die resultierende Welle ....

Was bedeutet

F^{'} (T) = 0 = 2 π v_{1} \cos (2 π v_{1} T) + 2 π v_{2} \cos (2 π v_{2} T) + 2 π v_{3} \cos (2 π v_{3} T)

$f'(t)=0 = 2π\nu_1 \cos(2π\nu_1 t) +2π\nu_2 \cos(2π\nu_2 t) +2π\nu_3 \cos(2π\nu_3 t)$

Auch diese Gleichung ist periodisch mit Periode $T$ .

Die Schwebungsfrequenz kann also als die Anzahl der Wurzeln von definiert werden $f'(t)=0$ Wo $t \in [0,T)$ geteilt durch T.

Gibt es eine einfache Möglichkeit, dies zu berechnen? (Ich brauche keine Formel ... Ein einfacher Algorithmus geht auch)

Hilft es, wenn alle drei Frequenzen natürliche Zahlen sind (weil dies normalerweise bei Problemen mit Stimmgabeln der Fall ist)?

Ich habe versucht, drei Längenvektoren zu berücksichtigen $\nu_1, \nu_2,\nu_3$ . Die Vektoren rotieren mit Winkelgeschwindigkeiten $2π\nu_1,2π\nu_2,2π\nu_3$ .

Wenn die Frequenzen natürliche Zahlen sind, denke ich $T=1/\gcd (\nu_1,\nu_2,\nu_3)$

Jetzt müssen wir herausfinden, wie oft die cos-Komponente der Vektorsumme der rotierenden Vektoren Null ergibt.

Mein Lehrer hatte eine seltsame, aber einfache Art, dies zu tun ... Er sagte, dass entweder alle 3 Vektoren parallel sein müssen, oder 2 Vektoren parallel und 1 antiparallel, oder die 3 Vektoren ein Dreieck bilden sollten.

Ich habe die Methode oder die Begründung dahinter nicht ganz verstanden.

Gibt es tatsächlich eine solche Methode?

Färcher

Ihr Lehrer hat die Idee eines Zeigers verwendet, bei dem sich die Zeiger mit unterschiedlichen Winkelgeschwindigkeiten drehen. en.wikipedia.org/wiki/Phasor

ghosts_in_the_code

@Farcher Ich habe eine Vorstellung von Phasoren und habe sie verwendet, um zu versuchen, sie selbst zu lösen. Was ich nicht verstanden habe, ist die genaue Lösung dieser Frage.

Saral

Wellenschläge - physicalkey.com/40/wave-beats-and-doppler-effect

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@Saral das ist nur für zwei Schläge :( nicht relevant

Antworten (2)

Schwebungsfrequenz der Überlagerung von drei Sinuswellen

Ihr Lehrer hat die Idee eines Zeigers verwendet, bei dem sich die Zeiger mit unterschiedlichen Winkelgeschwindigkeiten drehen. en.wikipedia.org/wiki/Phasor
@Farcher Ich habe eine Vorstellung von Phasoren und habe sie verwendet, um zu versuchen, sie selbst zu lösen. Was ich nicht verstanden habe, ist die genaue Lösung dieser Frage.
Wellenschläge - physicalkey.com/40/wave-beats-and-doppler-effect

Benutzer107153 · Answer 1

Ich bin ziemlich überzeugt, dass das Ergebnis möglicherweise keine Schwebungsfrequenz ist: Das Ding kann aperiodisch sein.

Betrachten Sie insbesondere drei Frequenzen, $f_1$ , $f_2$ , $f_3$ . Dann ist es leicht zu wissen, wie hoch die Schwebungsfrequenz zwischen diesen Paaren ist, und insbesondere

\begin{aligned} F_{1, 2} & = | F_{1} - F_{2} | \\ F_{1, 3} & = | F_{1} - F_{3} | \\ F_{2, 3} & = | F_{2} - F_{3} | \end{aligned}

$\begin{align} f_{1,2} &= |f_1 - f_2|\\ f_{1,3} &= |f_1 - f_3|\\ f_{2,3} &= |f_2 - f_3| \end{align}$

( $f_{i,j} = f_{j,i}$ Natürlich). Aber jetzt müssen wir wissen, wann und ob sich die kombinierte Wellenform wiederholt. Also die Beat-Wellenform $f_b(t)$ ist so etwas wie

F_{B} (T) = A Sünde (2 π F_{1, 2} T) + B Sünde (2 π F_{1, 3} T) + C Sünde (2 π F_{2, 3} T)

$f_b(t) = a\sin(2\pi f_{1,2} t) + b\sin(2\pi f_{1,3}t) + c\sin(2\pi f_{2,3}t)$

und dies ist nur dann periodisch, wenn es eine Zahl gibt $x$ so dass $x = lf_{1,2} = mf_{1,3} + nf_{2,3}$ für einige $l,m,n \in \mathbb{N}$ . Und das stimmt im Allgemeinen nicht. Im Allgemeinen ist die Wellenform also aperiodisch.

(Beachten Sie, dass dies immer noch gilt, wenn Sie nur ein beliebiges Paar der Schwebungsfrequenzen berücksichtigen, und eine frühere Version dieser Antwort hat dies getan.)

Färcher · Answer 2

Die Verwendung von Phasoren kann nützlich sein, um zu veranschaulichen, was passiert, aber für drei Frequenzen, die keine einfachen Vielfachen voneinander sind, ist ein algebraischer Ansatz wahrscheinlich einfacher.

Lassen Sie mich zunächst die Phasor-Methode für 2 Frequenzen von verwenden $1.0\, \rm Hz$ Und $1.1\, \rm Hz$ wobei sich nach einer Sekunde die Phase zwischen den beiden Zeigern ändert $36^{\circ}$ wie unten dargestellt.

Was als Diagramm der Verschiebung gegen die Zeit mit einer Schwebungsfrequenz von aussieht $0.1 \,\rm Hz$ .

Drei Frequenzen ist schwieriger und ich habe ein relativ einfaches Beispiel mit den drei Frequenzen gewählt, $1.0\, \rm Hz, \, 1.1\, \rm Hz$ Und $1.2\, \rm Hz$

Was Ihr Lehrer Ihnen gesagt hat, sind Ergänzungen des unten gezeigten Typs.

Wenn Sie komplexere Gruppen von Frequenzen analysieren möchten, könnte es Ihnen helfen, wenn Sie WolframAlpha oder ein ähnliches Paket erhalten, um die Diagramme für Sie zu zeichnen, wie ich es für die drei von mir ausgewählten Frequenzen getan habe.

Danke, diese Diagramme am Ende sind genau das, worüber er gesprochen hat. Sie haben jedoch keine Methode zum Ermitteln der Schwebungsfrequenz bereitgestellt ... Bedeutet das, dass es keine einfache Methode dafür gibt?
@ghosts_in_the_code Es hängt alles von den Werten der drei Frequenzen ab und wie sie zueinander in Beziehung stehen. Deshalb schlage ich vor, dass Sie weiter nachforschen und sehen, wie es gemacht werden könnte.
Ich habe versucht zu googeln und es selbst zu lösen, beides ist fehlgeschlagen, daher habe ich es hier gepostet.
Nachdem ich die Antwort von tfb gesehen habe, wird mir klar, dass wir den Ausdruck für f (t) multiplizieren und durch 2 dividieren und dann das Ergebnis für die Überlagerung von zwei Wellen paarweise anwenden können .... Dies ergibt den Ausdruck $f_b (t)$ in der Antwort von tfb. Aber selbst das hilft mir nicht, herauszufinden, wie man die Schwebungsfrequenz berechnet. Ist die Schwebungsfrequenz das LCM der paarweisen Differenzen der ursprünglichen Frequenzen?

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