Prinzip der Superposition für angetriebene Oszillatoren

Für ein lineares System gilt das Superpositionsprinzip, da ein lineares System per Definition die folgende Eigenschaft hat:

(1) wenn$y_1$ist die Ausgabe für die Eingabe$x_1$Und

(2) wenn$y_2$ist die Ausgabe für die Eingabe$x_2$Dann

(3) die Ausgabe ist$ay_1 + by_2$für die Eingabe$ax_1 + bx_2$

Mit anderen Worten, die Ausgabe für eine Überlagerung von Eingaben ist die Überlagerung der zugehörigen Ausgaben.

Wenn also die Differentialgleichung für Ihr System linear ist , zB der harmonische Oszillator, gilt das Superpositionsprinzip.

Was versuchst du denn zu beweisen?

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Beweisen Sie das Superpositionsprinzip für inhomogene lineare Bewegungsgleichungen, das zur Ableitung der Bewegung eines angetriebenen Oszillators verwendet wird. Wird es immer noch gelten, wenn die Kraft auf einen Oszillator –kx2 statt –kx wäre?

Das ist, glaube ich, falsch formuliert. Beispielsweise ist für die Masse auf einem (linearen) Federsystem die Kraft auf die Masse aufgrund der Feder nach dem Hookeschen Gesetz$-kx$.

Eine treibende Kraft wäre dagegen als Funktion der Zeit gegeben:$F_d = f(t)$.

Dann ist die Nettokraft auf die Masse die Summe der Antriebskraft und der Federkraft,$F = f(t) - kx$, was zu einer linearen Differentialgleichung führt :

$$m \ddot x +kx = f(t)$$

und somit gilt das Superpositionsprinzip per Definition .

Dies lässt sich leicht zeigen, indem man annimmt$f(t) = f_1(t) + f_2(t)$Und$x(t) = x_1(t) + x_2(t)$und Einsetzen in die Differentialgleichung.

So wie ich das Problem jedoch so lese, wie es in Ihrer Bearbeitung angegeben ist, ist es die wiederherstellende Kraft, nicht die treibende Kraft$-kx^2$.

Ist dies tatsächlich der Fall, ist die resultierende Differentialgleichung nichtlinear

$$m \ddot x +kx^2 = f(t)$$

und daher wird das Superpositionsprinzip seitdem nicht mehr gelten

$$(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + x_2^2 + 2x_1x_2 \ne x_1^2 + x_2^2$$