Wenn eine Welle$f(x,t)$ist etwas, das die Wellengleichung erfüllt$Lf=0$wo$L$ist der Differentialoperator$\partial_t^2-c^2\nabla^2$dann, weil$L$linear ist, jede lineare Kombination$\lambda f+\mu g$von Lösungen$f$und$g$ist wieder eine Lösung:$L(\lambda f + \mu g)=\lambda Lf+\mu Lg=0$.

Im Allgemeinen kann es Dinge geben, die sich ausbreiten (nicht genau Wellen, aber da es sich um Wellen jeglicher Art handelt), die durch andere Differentialgleichungen bestimmt werden. Wenn die Gleichung die Form hat$Lf=0$mit$L$B. ein linearer Operator, gilt dasselbe Argument und es gilt das Superpositionsprinzip.

Wie Coconut schrieb, kommt das Superpositionsprinzip von der Linearität des beteiligten Operators. Dies ist bei elektromagnetischer Strahlung im Vakuum der Fall. Annäherungen an Wasserwellen sind ebenfalls linear (da es sich um eine Annäherung handelt), haben aber wahrscheinlich kleine nichtlineare Teile. Die freie Quantenfeldtheorie ist auch linear, daher haben Sie dort ein Überlagerungsprinzip. Mit Wechselwirkungen und Renormierung ist es meiner Meinung nach nicht mehr linear.

Die Gravitation, wie sie von der Allgemeinen Relativitätstheorie beschrieben wird, ist hochgradig nichtlinear. Daher gibt es kein Superpositionsprinzip. Gravitationswellen haben kein Überlagerungsprinzip. Bei sehr großen Entfernungen können diese Wellen jedoch angenähert werden. Und dann könnte dieser Operator linear sein und man kann vernünftigerweise wieder von Superpositionen sprechen.

Die übliche Annäherung an eine Welle,

Nein.

Ungeachtet dessen, was Ihnen mehrere Antworten in diesem Thread sagen werden, gibt es viele Phänomene, die den Begriff "Welle" perfekt verdienen und das Überlagerungsprinzip nicht erfüllen. In der Fachsprache gilt das Superpositionsprinzip immer dann, wenn die zugrunde liegende Dynamik linear ist . Es gibt jedoch viele Situationen, die dieser Annahme nicht gehorchen.

Einige Beispiele:

• Brechende Wellen an einem Strand: Die zugrunde liegende Dynamik von Wasseroberflächenwellen ist linear, wenn die Amplitude klein ist, aber diese Annahme bricht zusammen, wenn die Amplitude mit der Wassertiefe vergleichbar ist.

  

  Die Alltagserfahrung sollte Ihnen sagen, dass eine größere Welle weiter vom Ufer entfernt bricht, während eine Welle mit einer kleineren Amplitude näher am Strand bricht. Dies ist offensichtlich mit dem Superpositionsprinzip unvereinbar.

• Solitonen , die auf nichtlinearen Effekten beruhen, um ihre Form auch bei Anwesenheit von Dispersion beizubehalten , und die sich als Wasseroberflächenwellen und in der Faseroptik sowie in esoterischen Domänen zeigen.

• Licht, das sich in einem Material mit ausreichend hohen Intensitäten ausbreitet, an welchem ​​Punkt der Kerr-Effekt (dh eine nichtlineare Modulation des Brechungsindex$n=n_0+n_2I$je nach Intensität$I$) wird eintreten, was zu nützlichen Effekten (wie Kerr-Lens Modelocking ) sowie zu schädlichen (wie katastrophal außer Kontrolle geratene Selbstfokussierung ) führt.

• Im weiteren Sinne ist die Optik nur im Vakuum linear (und selbst dann stößt man irgendwann auf Paarbildung und Licht-Licht-Streuung). In Gegenwart von Medien gibt es viele nützliche Phänomene, die die nichtlineare Reaktion von Materialien nutzen und in die sogenannte nichtlineare Optik fallen .

  Dies reicht von Störphänomenen wie Kerr -Linsen und Frequenzmischprozessen wie der Erzeugung zweiter Harmonischer (wie sie in grünen Laserpointern verwendet werden) bis hin zu hochgradig störungsfreien Prozessen wie der Erzeugung von Oberschwingungen höherer Ordnung , bei denen eine Verdoppelung der Intensität die Intensität dramatisch verändern kann Spektrum der emittierten Harmonischen (dh fast das Doppelte des Cutoffs der harmonischen Ordnungen, die Sie erzeugen können).

• Schallwellen, die stark genug sind, um in das nichtlineare Akustikregime einzudringen, einschließlich Überschallknall, akustische Levitation und medizinische Ultraschallbildgebung.

• Hydraulische Sprünge , die sich überall bilden, von Dämmen über Gezeitenbohrungen bis hin zu Ihrer Küchenspüle.

• Die nichtlineare Wellendynamik der Quantenmechanik von Bose-Einstein-Kondensaten, die den Gross-Pitaevskii- und nichtlinearen Schrödinger - Gleichungen und verwandten Modellen gehorchen.

• ... letzteres eignet sich übrigens auch zur Modellierung von nichtlinearem Verhalten in Glasfasern und in Wasserwellen.

• Wenn ich darüber nachdenke, ist die gesamte Fluiddynamik von Grund auf nichtlinear. Die erste Annäherung ist in der Tat nichtlinear, aber viele Phänomene werden durch den nächsten Schritt gut beschrieben, dh einschließlich einer schwachen Nichtlinearität, die Ihnen etwas gibt, das man Knoidalwellen nennt .

Ich könnte weitermachen, aber Sie verstehen, worauf es ankommt. Wenn Sie möchten, können Sie den Begriff "Welle" auf Phänomene beschränken, die der linearen Dynamik gehorchen. Wenn Sie dies jedoch tun, lassen Sie alle oben genannten Phänomene explizit aus, und ich würde argumentieren, dass das nicht wirklich das ist, was wir mit dem Begriff meinen.

Etwas einfach als "Welle" zu bezeichnen, reicht nicht aus, damit eine Überlagerung von Lösungen die maßgebliche Wellengleichung erfüllt. Beim Ableiten von Wellengleichungen wird die Linearität dadurch erreicht, dass Schwingungen mit "kleiner Amplitude" erforderlich sind, sodass das Überlagerungsprinzip in der Natur bei großen Amplituden im Allgemeinen nicht gilt.

Tatsächlich erfüllt keine von ihnen die Überlagerung vollständig. Erstens erfordert die Überlagerung Linearität, und die Linearität ist in den meisten Fällen nicht perfekt. Auch bei linearen Theorien ist die Theorie nur ein Modell und hat ihre Grenzen.

Beispielsweise sind die Maxwell-Gleichungen linear, also überlagern sich Lichtwellen. Wenn Sie zwei Laserstrahlen kreuzen, gehen sie ohne Veränderung vollständig durcheinander. Aber:

• Wenn die Strahlen stark genug sind, um eine Paarproduktion zu induzieren, ist dies nicht mehr der Fall.
• Wenn die Strahlen genügend signifikanten Masse-Energie-Tensor haben, um allgemeine relativistische Effekte zu induzieren, beeinflussen sie sich gegenseitig gravitativ (was ziemlich interessant ist, zum Beispiel kann es sogar abstoßend sein).

Natürlich ist keiner dieser Effekte stark genug, um durch einen Laserpointer induziert zu werden.

Lineare Wellen sind meistens nur eine Annäherung - sobald eine gewisse Nichtlinearität vorhanden ist, bricht die Linearität und die Überlagerung ist nicht mehr wahr. Tatsächlich erhalten Sie normalerweise eine Produktion höherer Harmonischer. Die meisten Fälle, in denen Materie involviert ist, weisen zumindest eine gewisse Nichtlinearität auf, die bei größeren Amplituden ausgeprägter wird.

Maxwell-Gleichungen führen zu einer perfekt linearen Wellengleichung im Vakuum, aber in Materie treten nichtlineare Effekte wie der Kerr-Effekt auf . Die nichtlineare Optik macht sich dies zunutze - für selbstfokussierende Strahlen, Erzeugung höherer Harmonischer (Frequenzverdopplung für Laser wird in einigen Laserpointern verwendet, um Grün aus Infrarot zu erzeugen).

Wasserwellen sind sehr bekannte Beispiele, die nichtlinear sind (sehen Sie sich nur an, wie sich die Wellenform ändert und über sich selbst stürzt, wenn sie das Ufer erreicht).

Bei Schallwellen in Gasen wird die Nichtlinearität offensichtlich, wenn der Schalldruck mit dem Umgebungsdruck vergleichbar wird (was bedeutet, dass die Teile der Schallwelle mit geringer Dichte nahe dem Vakuum liegen), und sogar davor, da das ideale Gasgesetz nicht mehr gut gilt . Nichtlinearität kann zur Bildung von Stoßwellen führen.

Allgemein gilt: Jede nichtlineare Reaktion des Mediums auf die Verschiebung hat zur Folge:

• Überlagerung gilt nicht mehr
• Abhängigkeit des Verhaltens (Frequenz, Ausbreitungsgeschwindigkeit) von der Amplitude
• harmonische Sinuswellen werden ihre Form mit der Zeit nicht behalten
• höhere Harmonische werden erzeugt
• Welle interferiert mit sich selbst durch Nichtlinearität und ändert als solche ihre Richtung/Form/Frequenz